高考排列組合問題的求解策略

排列組合問題是每年高考必考內容，這類問題不僅內容抽象，解法靈活，而且解題過程極易出現“重復”和“遺漏”的錯誤，因此解題時應注意不斷積累經驗，總結解題規律，掌握若干技巧，使看似復雜的問題迎刃而解。現將高考中幾類典型排列組合問題的求解策略歸納如下：

一、合理分類與準確分步法

解含有約束條件的排列組合問題，應按元素性質進行分類，按事情發生的連續過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

例1：有n個人參加計算機考試，能否通過不能確定，問有多少種可能情況？

解析：【法一】由分類計數原理，有0個人通過有C種結果，有1個人通過有C種結果，有2個人通過有C種結果，……有n個人通過有C種結果，因此，一共有C+C+C+…+C=2種可能情況。

【法二】由分步計數原理，第一個人有通過與不通過兩種可能，第二個人也有通過與不通過兩種可能；……第n個人也有通過與不通過兩種可能，因此，一共有n個2相乘，即2×2…×2=2種可能情況。

二、混合問題“先選后排”

對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。

例2：4個不同小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，恰有一空盒的方法有多少種？

解析：因有一空盒，故必有一盒子放兩球。第一步：選，即從四個球中選2個有C種，從4個盒中選3個盒有C種；第二步：排，即把選出的2個球看作一個元素與其余2球共3個元素，對選出的3盒作全排列有A種，故所求方法有C#8226;C#8226;A=144種。

三、特殊元素“優先安排法”

對于帶有特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其它元素。

例3：用0，2，3，4，5，五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（）。

A.24個B.30個C.40個D.60個

解析：由于該三位數為偶數，故末尾數字必為偶數，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應該優先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：第一類，0排末尾時，有A個；第二類，0不排在末尾時，則有A#8226;A#8226;A個，由分數計數原理，共有偶數A+A#8226;A#8226;A=30個，選B。

四、總體淘汰法

對于含有否定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的除去，此時需注意不能多減，也不能少減。

例4：五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（）。

A.120種B.96種C.78種D.72種

解析：由題意可先求五個人全排列有A種，再將甲排首位A種，乙排末位A種都要減去，但甲排首位可能乙排末位，乙排末位可能甲排首位，需再加上甲排首位乙排末位的全排列A，故有A-2A+A=78種不同的排法。選C。

五、相鄰問題“捆綁法”，不相鄰問題“插空法”

若對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可將相鄰的元素“捆綁”起來看作整體與其他元素排列，再對這個整體“松綁”，即內部元素排列；若對于某幾個元素要求不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。

例5：7人站成一排照相，①若甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？

②若甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？

解析：①把甲、乙、丙三人“捆綁”起來看作一個整體，與其余4人共5個元素全排列，有A種排法，而甲、乙、丙之間又有A種排法，故共有A#8226;A=7200種排法。

②先將其余四人排好有A種排法，再在這四人之間及兩端的5個“空”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有A種方法，這樣共有A#8226;A=1400種不同排法。

六、局部問題“整體優先法”

對于局部排列問題，可先將局部看作一個整體與其余元素一同排列，然后進行局部排列。

例6：7人站成一排照相，要求甲、乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？

解析：甲、乙及間隔的3人先“捆綁”起來組成一個“小整體”，這3人可從其余5人中選，有C種；這個“小整體”與其余2人共3個元素全排列有A種方法，它的內部甲、乙兩人有A種站法，中間選的3人也有A種排法，故符合要求的站法共有C#8226;A#8226;A#8226;A=720種。

七、順序固定問題用“消序法”

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列，然后用總排列數除以這幾個元素的全排列數。

例7：6個人排隊，甲、乙、丙三人順序一定，則不同的排隊方法有多少種？

解析：不考慮附加條件，排隊方法有A種，而其中甲、乙、丙的A種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A÷A=120種。

八、構造模型“插板法”

對于相同元素的分配問題，可以再元素之間構造一個隔板模型來達到分配的目的。

例8：方程a+b+c+d=12有多少組正整數解？

分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，而每一種分法所得4堆球的各堆球的數目，即為a，b，c，d的一組正整解，故原方程的正整數解的組數共有C=165。

九、正難反易轉化法

對于一些生疏問題或直接求解較為復雜、困難的問題，若從正面入手情況較多，不易解決，應及時轉化思路從反面入手，將其轉化為一個簡單問題來處理。

例9：馬路上有8盞路燈，為節約用電又不影響正常的照明，可把其中的三盞燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關掉兩端的燈，那么滿足條件的關燈方法共有多少種？

解析：關掉第一盞燈有6種方法，關第二盞、第三盞時需分類討論，情況十分復雜。若從反面入手考慮，每一種關燈的方法都對應著一種滿足題設條件的亮燈與關燈的排列，于是問題轉化為“在5盞亮燈的6個空中插入3盞暗燈”的“插板”問題。故關燈方法有C=20種。

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