超幾何分布在審計總體稀缺項目估計中的應(yīng)用

【摘要】 稀缺項目(如違法發(fā)票)指的是在審計總體中占很小比例的項目。如果抽取的樣本含稀缺項目數(shù)為零，傳統(tǒng)方法無法估計其在審計總體中的數(shù)目及其金額。超幾何分布法能很好地解決這個問題。

【關(guān)鍵詞】 抽樣審計;超幾何分布;審計總體;稀缺項目;估計

一、引言

在審計總體由合法發(fā)票和違法發(fā)票(稀缺項目，后同)構(gòu)成的情況下，為節(jié)約審計時間和審計成本，審計員通常根據(jù)隨機抽取的發(fā)票樣本來估計審計總體違法發(fā)票總數(shù)目(M)及其金額(在此稱為參數(shù))。如果估計的違法發(fā)票數(shù)目或金額在可允許范圍內(nèi)，就可以發(fā)表無保留意見的審計報告;反之，發(fā)表其他意見的審計報告。由于違法發(fā)票在審計總體中比率較小，這樣抽取的發(fā)票樣本可能一張違法發(fā)票也沒有，這就給參數(shù)估計帶來了很大的困難。

美國數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家Cochran(1977)在《抽樣技術(shù)》一書給出的樣本比率估計法適合于抽取的樣本包括違法發(fā)票數(shù)目與零有一定差異的情況。Liu，Batcher和Rotz(2001)提出的超幾何分布估計法能比較好地解決即使在發(fā)票樣本中違法發(fā)票數(shù)目為零的情況下審計總體違法發(fā)票數(shù)目及其金額的估計問題。

為敘述方便，假設(shè)違法發(fā)票和合法發(fā)票在審計總體中隨機均勻分布。用xi表示第i張發(fā)票的賬面額(已知)，yi為其違法額(未知)。Roberts(1978)給出了第i張發(fā)票賬面額與違法額的關(guān)系式

二、概率分布模型

(一)簡單隨機抽樣的概率分布模型

假設(shè)審計總體共有發(fā)票N張，其中M張是違法發(fā)票(未知)，(N-M) 張是合法發(fā)票。從中抽取容量為n的樣本，經(jīng)過識別發(fā)現(xiàn)其中有違法發(fā)票a張。在M已知的情況下，違法發(fā)票數(shù)目服從超幾何分布，其概率為

(二)分層隨機抽樣的概率分布模型

為了在分層隨機抽樣下使用上述概率模型，需要確定M=M1+M2的概率分布，其中M1和M2分別表示審計總體第一、第二層違法發(fā)票數(shù)目。用a1和 a2分別表示從第一、第二層抽取的容量分別為n1和n2的樣本中違法發(fā)票數(shù)目。由于樣本是從各層獨立抽取的，所以違法發(fā)票總數(shù)M=M1+M2在第一層樣本違法發(fā)票數(shù)a1和第二層樣本違法發(fā)票數(shù)a2既定下的條件概率為

三、估計量

(一)Cochran(1977)估計量

用公式(4)、(5)、(6)、(7)、(8)估計簡單或分層隨機下審計總體違法發(fā)票金額。

四、模擬研究的例子

下面是LanLiu，Mary Batcher和Wendy Rotz(2001)在“Application of hypergeometric distribution in a special Case of rare events”中的一個審計總體Ω的例子。Ω的情況見表1。

五、結(jié)論

在審計總體存在稀少項目的情況下，從中抽取的簡單或分層隨機樣本包含的稀少項目的數(shù)目可能很少甚至為零。在這種情況下，傳統(tǒng)的估計方法無法為審計總體稀少項目的估計提供適當?shù)墓烙嬛怠Ｉ厦嫠枋龅某瑤缀畏植挤ㄊ且粋€較為理想的解決這個問題的方法，尤其是需要保守的估計值的時候。●

【參考文獻】

[1] Bain，L.J and Engelhardt，M，1991，Introduction to Probability and Mathematical statistics.Boston:Pws-KENT Publishing Company.

[2] Cochran， W. G.，1977，Sampling Technique， New York: John Wiley and Sons.

[3] Roberts，D.M.，1978，StatisticalAuditing， New York:American Institute of Certified Public Accountants，INC.

[4] Wilburn，A.J.，1984，Practical Statistical Sampling for Auditors，New York and Basel:Marcel Deffer，Inc.