這是偶然的嗎

F先生討厭計算，總是用加減法取代乘除法。比如，計算:

1.0015×0.9989÷1.0023=?

他總是先求出各數比1大多少，或者比1小多少。如

1.0015=1+0.0015

0.9989=1-0.0011

1.0023=1+0.0023

然后，再按以下辦法計算:

1.0015×0.9989÷1.0023

≈1+0.0015-0.0011-0.0023

=0.9981

正確的結果是0.998102713，F先生的計算結果相當接近。這是偶然的嗎?

點拔:這是一種巧妙的計算，絕不是偷懶。

首先，我們來看以下乘法運算

(1+a)(1+b)=1+a+b+ab

如果a和b接近于0，則

(1+a)(1+b)≈1+a+b

就題目中的算式而言

1.0015×0.9989

=(1+0.0015)(1-0.0011)

≈1+0.0015-0.0011=1.0004

此時當然存在誤差，其誤差為

0.0015×(-0.0011)=-0.00000165

與1.0004相比，可以忽略。

同理，當c取值于-1和1之間時

=1-c+c2-c3+…

如果c接近于0，則

≈1-c

因此，若a、b、c均接近0，則

(1+a)(1+b)(1-c)≈1+a+b-c

從上式可得

1.0015×0.9989÷1.0023

=

≈(1+0.0015)(1-0.0011)(1-0.0023)

≈0.9981

所以，題目中的近似計算在理論上也是正確的。