“斐波那契”狂想

● 教學內容分析

看到這個課題，很多人都會誤認為這是數學課。其實，它是信息技術校本課程中的一課。開設信息技術校本課程，不少信息技術教師都會選擇類似信息技術前沿探究、動畫處理、網頁制作和視頻處理等專題，這些內容雖然從一定程度上延伸了信息技術課堂，但總體讓人感覺缺乏新意，對學生的吸引力也不足。于是，我從創意入手，設計了一系列專題課程，自己編寫教材，讓學生在生動而富有創意的課堂內容中，潛移默化地學會如何用所學的知識來解決學習、生活中遇到的問題，更重要的是學會如何學習。《“斐波那契”狂想》就是系列專題中的精彩一課。

● 教學對象分析

教學對象是高一年級學生，他們在義務教育階段進行了較為系統的信息技術課程的學習，基本掌握了文本、多媒體的采集與加工技術，但從未上過信息技術校本課程，對該課程充滿好奇。此外，由于數學課程還未講授“斐波那契數列”的相關知識，絕大多數學生對該內容不了解，有利于課題的引入及情境的創設。

● 教學目標

了解“斐波那契數列”所涉及的各領域的知識，學會用其解決學習、生活中遇到的問題。

學會利用信息技術提高工作效率，美化生活。

擺正學習態度，將學習放眼于個人的全面發展，而非功利化的考試目的。

● 教學過程

（一）揭密“斐波那契”

1.什么是“斐波那契”

師：“斐波那契”是一個人名，他是意大利著名的數學家。1202年，他撰寫了著名的《算盤書》。在這本書中記載了一個世界著名的數學問題，叫作“兔子問題”。

設計意圖：剛剛踏入高一的學生對“斐波那契”并不了解，而專題的名稱“‘斐波那契’狂想”讓學生感到非常好奇。因此，課堂從對“斐波那契”的揭密開始，進一步通過“兔子問題”深入探討斐波那契數列。

2.“兔子問題”呈現

師：我們一起來看看“兔子問題”（見圖1）：假設有一對兔子，從出生后第3個月開始，每個月都生一對小兔子。小兔子到第三個月又開始生下一代小兔子。假設兔子只生不死，每個月各有多少對兔子？

學生打開Excel，模仿效果圖，建立表格，嘗試計算12個月的兔子對數，并填入表中，然后觀察計算出來的數據有什么規律。

設計意圖：在這個環節中先將“兔子問題”拋出來，讓學生嘗試通過自己的思考來解決問題。

在毫無提示的情況下，要完全算出12個月的兔子對數有一定難度，這為下個環節的分析埋下伏筆。

3.動畫演示，揭示奧秘

師：通過動畫演示算出前7個月的兔子數。第1個月，有1對兔子；第2個月，因為兔子還不能生育，仍然是1對兔子；第3個月，大兔子生了一對小兔子，柵欄里有2對兔子；第4個月，大兔子又生了一對小兔子，而上月出生的小兔子還不能生育，柵欄里有3對兔子；第5個月，原來的大兔子又生了一對小兔子，而第3個月出生的兔子已經成熟，也生了一對小兔子，這時共有5對兔子……我們將前7個月的兔子數列在表中，觀察這組數有什么特點。

生：從第3個月開始每個月的兔子數都是緊臨的前兩個月兔子數之和。

師：發現這個規律后，你能快速告訴我8～12月的兔子數嗎？請同學們繼續完成表格的填寫，看看誰填得最快，并告訴我第12月的兔子數是多少。

學生按照規律，在Excel表格中填寫每個月的兔子對數。做得快的學生已經忍不住喊出了最終的結果：“第12個月的兔子數是144對。”

師：這12個月兔子對數形成的數列就是世界上非常有名的“斐波那契數列”。它的定義是：若一個數列，首兩項等于1，而從第三項起，每一項是前兩項之和，則稱該數列為斐波那契數列。斐波那契本人并沒有把“兔子問題”和“斐波那契數列”看得特別重要。在《算盤書》中，“兔子問題”只不過是書里許多問題中并不特別的一個。但是，在以后的歲月中，這個數列似乎和高產兔子一樣，引發了為數眾多的數學論文和介紹文章。“斐波那契數列”成為數學中最奇特和最常出現的數列。美國數學家出版了一份專門研究它的季刊，稱為《斐波那契季刊》（Fibonacci Quarterly），里面登載了關于這種數列最近新發現的性質。

剛才，我觀察到大多數同學都是通過手動輸入的方法，在Excel表中列出兔子對數的，幸好列出是12個月的兔子數，要是列出200個月的兔子數，我相信不少同學就會皺眉頭了。這種低效方式顯然不能滿足我們的需要。既然使用計算機，我們就要發揮出它的優勢來，所以，我們要思考一種方法可以快速完成任務。

根據所總結出來的數列規律，在Excel中運用公式，快速算出結果。具體操作見圖2：在第3個月的兔子數中輸入“＝1＋1”，在第4個月的兔子數中輸入“＝2＋1”，我們發現并沒有提高效率，反而使效率更低了。有沒有更簡便的方法，能夠通過公式復制完成而不必一個一個地輸入公式呢？那就是“公式＋引用單元格”的方法。具體操作：在第3個月的兔子數中輸入“＝B2＋B3”，然后用“填充柄”進行公式復制，快速求出結果，瀏覽單元格，發現單元格數會自動累加，這就是公式復制的快捷之處。

學生用公式復制的方法，嘗試列出12個月和50個月的兔子對數。

設計意圖：在這個環節中，學生可以充分領略到數學的魅力，同時，還學會了如何用信息技術來解決數學問題。用信息技術解決問題的方法多種多樣，還要學會尋找最優的方法來解決問題。

4.編制程序計算兔子對數

師：用Excel的公式復制解決兔子問題，我們已經覺得很方便了，其實還有一種更為高效的方法，能立即呈現結果，就是用編程的方法來解決問題。

程序演示：點擊按鈕就能迅速呈現出12個月的兔子對數。（見圖3）

分析源程序：第1行語句定義數組；因為斐波那契數列的規律是從第三項開始的，所以，我們把前兩項數組賦值為1，并將它們打印出來，然后，通過一個循環語句，利用遞推關系式計算出隨后10個月的兔子對數，并依次將結果顯示在屏幕上。

操作演示：新建工程，放置按鈕，雙擊按鈕復制代碼，運行測試效果，保存生成可執行程序。

學生在VB中添加窗口、按鈕并撰寫代碼，嘗試改變月份數為50，解決窗口運行呈現問題。

設計意圖：本環節掀起本課的一個小高潮。學生此刻已經深深被信息技術的魅力所吸引。短短的幾句代碼就能實現如此神奇的效果，讓還沒接觸編程的高一學生毫無障礙地“摘到桃子”，享受到成功的喜悅。

（二）探索大自然中的斐波那契數列

師：在自然世界中，植物似乎對斐波那契數著了迷。植物的花、葉、枝條、果實、種子等形態特征，都可發現斐波那契數。最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或樹葉。薊的頭部具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋，還有我們食用的蔬菜，如青菜、包心菜、芹菜等的葉子排列也具有這個特性。觀察向日葵的花盤，我們會發現其種子排列組成了兩組相嵌在一起的螺旋線，一組是順時針方向，一組是逆時針方向。再數數這些螺旋線的數目，雖然不同品種的向日葵會有所不同，但是每組數字都是斐波那契數列中相鄰的兩個數。再看看菠蘿、松果上的鱗片排列，雖然不像向日葵花盤那么復雜，也存在類似的兩組螺旋線，其數目通常是8和13。有時候這種螺旋線不是那么明顯，需要仔細觀察才會注意到。（見圖4）

數學家澤林斯基發現樹枝生長的“斐波那契”規律。他說，當你漫步在樹林之中時，你會發現：由于新生的枝條往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此后，老枝與“休息”過一年的新枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。

植物有這種生長特性，難道是因為這些植物懂得斐波那契數列？當然不是，是因為這樣的布局能使植物的生長疏密得當、最充分地利用陽光和空氣，所以，很多植物都在億萬年的進化過程中演變成了如今的模樣。當然，受氣候或病蟲害的影響，真實的植物往往沒有完美的斐波那契螺旋。但是，我們可以借助計算機來繪制完美的斐波那契螺旋。

設計意圖：大自然中的植物如此鐘愛斐波那契數，給學生帶來了不小的震撼。學生在欣賞自然美的同時，學習了如何通過軟件繪制完美的斐波那契螺旋。

（三）斐波那契與黃金分割

師：為什么植物如此偏愛斐波那契數？這和另一個更古老的、早在古希臘就被人們注意到甚至去崇拜它的另外一個“神秘”數字有關。圖5有幾個長方形，比較一下它們的大小形狀，你認為哪一個形狀最好看呢？

生：選E！選A……

師：在100多年前，德國的一個心理學家文特做了這樣一個試驗，它把這些形狀各異的長方形給很多人選擇，結果，幾乎所有的人都選擇了圖形E。尤其是文化素養越高的人，這種愛好就越集中。圖形E的長方形的寬與長的比大約是2∶3，這個比例常被人們稱為“黃金分割比”。

黃金比的研究可追溯至公元前的古希臘時期，它的定義是：設AB是一條線段，今將線段AB分割成兩段，使短段：長段＝長段：全段。這樣的分割方式叫做黃金分割，而這一比值就稱為黃金比，也就是0.618∶1，0.618被數學家稱為“黃金數”（見圖6）。

同學們還記不記得，用直尺和圓規如何找出黃金分割點？

學生在黑板上繪制，過B點作一條直線垂直AB，然后在這條直線上取線段BD，使得BD的長是AB的一半，然后我們聯結AD。我們再以D為圓心，DB的長為半徑畫一個弧。這個弧交AD于E點，然后，再以A為圓心，AE的長為半徑畫弧，這個弧交AB于C點，C點就是我們所要找的將AB黃金分割的點。

師：前面老師講到，與斐波那契相關的古希臘崇拜的“神秘”數字就是黃金數。它們彼此有什么關系呢？同學們發現沒有，如果我們計算相鄰兩個斐波那契數的比，它們越來越接近黃金分割比0.618∶1。我想植物喜愛斐波那契數，實際上是因為喜愛黃金數。這是為什么呢？也許是上帝想讓世界充滿美與和諧吧。其實，黃金分割比在幾何、大自然、藝術、生活中處處可見。黃金三角形：頂角為36°角的等腰三角形，其底與腰之比恰為黃金比。（見圖7）大自然的鬼斧神工處處都留下了黃金分割的痕跡：楓葉的葉脈和葉子寬度的比例，蝴蝶身長和翅寬的比例都成黃金比例0.618。此外，以0.618為比例擴張的螺旋也被成為黃金螺旋（見圖8）。你有沒有注意到，電視新聞播報時，主播的位置經常被安排在畫面的黃金分割點，而非正中央。

在藝術領域里更是神奇。蒙娜麗莎完美的黃金比例，流露著莊嚴、和諧、神秘的氣質；芭蕾舞演員頂起腳尖，正是為了使人體的上下身之比更符合黃金比。像二胡、提琴這樣的弦樂器，當樂師們把它們的碼子放在黃金分割比的分點上時，樂器發出的聲音是最動人美麗的。同學們，你們知道嗎？我們的國歌《義勇軍進行曲》的高潮部分正好處在全曲的黃金分割點上，所以，我們在唱國歌的時候也在分享著黃金分割的魅力。建筑師們早就懂得使用黃金分割比了。在公元前3000年建成的埃及法老胡夫的金字塔（埃及金字塔為正四角錐體，塔高與底部正方形邊長之比為黃金比，足見公元前兩千多年的人們就已經發現了黃金比）和公元前432年建成的雅典帕特農神廟就采用了這個神奇之比。因此，它們的整個結構以及它們與外界的配合是那樣的和諧美觀。據研究，從猿到人的進化過程中，骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大，軀體外形由于近似黃金比而變化最小。古希臘人早就發現了這個人體比例的奧秘并將它充分運用于藝術雕塑中。維納斯雕像，象征著愛與美的女神，被視為女性體型美的標準。人的肚臍位于人體身高的黃金分割點。肚臍以上，頸部是黃金分割點；肚臍以下膝蓋是黃金分割點。還有，人在精神愉快時的腦電波頻率下限約8赫茲，上限約12.9赫茲，上下限之比近于黃金比。舒張壓與收縮壓之比近似黃金比。難怪符合此比例的人、事物都非常順眼。

（四）搶答互動環節

師：請回答以下問題：

（1）報幕員應站在舞臺的什么地方報幕最佳？

生：根據黃金分割，應站在舞臺寬度的0.618處。

（2）高清晰度電視的屏幕為什么要設計成16∶9？

生：因為若將屏幕的長與寬組成一條線段，取這條線段的黃金分割點，將線段分成兩條線段，則屏幕的長與寬剛好接近它。

（3）請問大熱天開空調應調在什么溫度最佳？

生：人的正常體溫是37.5度，37.5×0.618=23.175，這個溫度最佳。

（4）為什么許多國家都喜歡在國旗上繡五角星？

生：因為五角星是很美的幾何圖形，其中由五條線段相交的五個點剛好是這五條線段的黃金分割點。

設計意圖：由斐波那契數列引出與其密切相關的“黃金分割”，“黃金分割”在大自然和人類生活中所呈現的美，讓學生嘆為觀止。

（五）課外拓展

師：斐波那契數列有許多奇妙的性質，其中有一個性質是這樣的：

F_n-F_n+1·F_n-1=（-1）ⁿ⁺¹（n＞1）

斐波那契數列的這個性質，常被用來構造一些極為有趣的智力游戲。美國《科學美國人》雜志刊載過一則故事：一位魔術師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺、寬5英尺的長方形地毯。”這位匠師對魔術師算術之差深感驚異，因為，兩者之間面積相差達一平方英尺呢！可是魔術師竟讓匠師用圖9和圖10的辦法達到了他的目的！這真是不可思議的事！你猜得到，那神奇的1平方英尺究竟跑到哪兒去了嗎？

● 教學反思

本課受歡迎程度如何？從課堂氣氛的熱烈和下課后的情景就可以深刻感受到。下課鈴響了，學生仍然意猶未盡，匯聚成小組對感興趣的問題熱烈地進行探討，遲遲不愿離去。可見，我的這次創意嘗試獲得了成功。整節課我和學生一起分享著我對“斐波那契”的狂想，讓學生在輕松活躍的思維暢游中，享受數學美、算法美、自然美、藝術美、生活美……看起來我似乎是在進行美的熏陶，其實，我的真正目的并非僅局限于此。因為我發現迫于高考壓力，不少高中生都在“死讀書”，對知識點死記硬背，這樣學習真的很苦、缺乏樂趣。就拿“斐波那契數列”來說，它本身是高中數學的一個知識點，很多學生都點到為止，會解數學題就可以了，但它背后所蘊含的巨大“寶藏”卻很少被學生問津。如果像這堂課一樣，運用發散思維，以這個知識點為圓心向四周擴展，學生在一系列的探索當中學到了很多領域的知識，而且逐漸學會運用所學的“知識點”揭示許多奧秘，提高生活、工作效率，懂得用知識來欣賞藝術、享受生活，這才是學習的真正意義。其實，這種方法不僅僅局限于數學，其他學科的學習也可以如此。所以，本課的最終目標是讓學生把所學知識的最大價值發揮出來。