計算機上的“活”函數

函數是中學數學極為重要的內容，貫穿高中數學的始終。方程、不等式、數列、極限、導數與微分等內容都是以函數為中心的，還滲透到三角、立體幾何、解析幾何，更有內容豐富的函數實際應用性問題，跨學科的綜合應用是函數的鮮明特征。所以，學好函數知識是學好整個高中數學的關鍵。但由于函數是學生接觸到的第一個研究變數之間關系的數學基本概念，學生無法很好地基于自身的知識背景來建構這一抽象概念并得到深刻的理解。函數圖像是函數關系的一種直觀、形象的表示，函數圖像對函數的概念與性質的理解起著至關重要的作用，但由于作圖很麻煩、不方便，甚至不可能作出，所以，學生很難達到對函數知識的深刻理解。信息技術可以很好地輔助學

生學習函數知識。

● 加深函數理解，領悟數學本質

教材的編寫有其嚴密的邏輯體系。函數知識的編寫遵循著由簡單到復雜、由特殊到一般再到特殊的認知規律。在傳統教學中限于技術手段，往往不能很好地呈現函數知識的形成過程，展現函數知識的內涵，挖掘函數知識蘊含的重要思想方法，領悟數學的本質。雖然學生通過一段時間的學習能解決一些問題，但對函數知識的認識往往是一知半解、殘缺不全的。再現知識的形成過程，有利于學生構建完整的知識體系。利用Mathematical等信息技術手段，由“靜”到“動”，由“微觀”到“宏觀”地展現知識的形成過程，有利于學生構建完整的知識體系。

在指數函數的學習中，只用“描點法”作出y=2x，y=(1/2)x兩個圖像，然后直接給出指數函數y=ax（a＞0，a≠1）的性質，這有些“強加于人”的感覺。

例如，學生對為什么要把底數a分為0＜a＜1和a＞1兩種情況加以討論不一定理解，過程比較被動。而引導學生利用諸如Mathematical等軟件完成函數y=ax的對應值表，作出圖像，并在信息技術環境下動態觀察圖像，形成對指數函數性質的感性認識，再讓學生自由選擇a的值，并在同一坐標系內作圖像。

只要輸入Plot[{4x，3x，2x，1x，-x，-x，

-x}，{x，-2，2}]就可得到圖1。

在此過程中，學生可清楚地看到底數a如何影響并決定著函數y=ax的性質。由于函數的圖像隨著0＜a＜1和a＞1自然聚集，學生可以清楚地看到a=1的這條分界線，而函數的定義域、值域、單調性、特殊點（0，1）等更是一目了然。然后，再通過a的連續變化來演示函數圖像的變化規律，讓學生更直觀、更清楚地“看到”函數y=ax的性質。這樣呈現內容，對學生發現和認識“為什么以a=1為分界點”，“過點（0，1）為什么要作為性質之一”，“為什么不討論a=0和a<0的情形”等，都營造了很好的環境，使開放性、探索式學習等成為可能。顯然，如果沒有信息技術，上述過程很難實現。

利用信息技術構建的高中數學教學模式改變傳統教學中學生圍著老師轉的教學模式，學生從以往的聽眾變成了積極的參與者，真正成為課堂的主體。把原來被動的數學學習過程轉變成為自己學習數學的過程，使學生體會到知識產生的過程，從而對數學有更深刻的認識，產生更強烈的求知欲，也進一步激發了學生學習數學的積極性。

● 突破重難點，構建完整的函數知識體系

函數的概念、函數的性質、基本初等函數是函數知識的重點，也是函數知識的支撐，這些內容的理解掌握，對函數知識的學習至關重要。函數的概念、反函數、復合函數是函數知識的難點，對難點知識的突破，有利于構建完整的知識體系。在傳統教學中，對重點知識的教學往往不直觀、不具體，不是水到渠成的，總有強加于人的感覺，揭示不深刻，不利于知識的理解掌握；對難點知識的教學，往往說不清道不明，蜻蜓點水、淺嘗輒止，不能有效突破。利用信息技術可以直觀、形象地揭示知識間的聯系，有利于學生掌握重點、突破難點。

以往研究復合函數的性質，特別是復合函數單調性的判斷，總是直接給出結論“同則增，異則減”，學生只知其然，而不知其所以然，往往疑惑不解。現在，利用信息技術，如Mathematical研究復合函數y1=xsin-的（x≠0）圖像。

只要輸入Plot[{x*Sin[Pi/x]，x，-x}，

{x，-2，2}]就可得圖2。

學生可以根據已知函數y1=xsin-的圖像得到性質：①定義域、值域；②奇偶性。

利用信息技術的高中數學課堂為學生營造了一個探索數學、體驗數學的環境。大家可以做實驗、互相討論、積極思維、互相協作、大膽猜想、踴躍發表自己的觀點，參與感比較強，在實驗中學習，數學課也不枯燥了。信息技術給我們帶來了生動形象的數學，以其圖像的快捷性和直觀性為進一步探索數學提供了必要的條件，有利于逐步培養學生科學研究的態度和意識。

● 解決函數型實際應用問題，培養科學研究的態度和意識

利用數學知識來解決實際問題的一般方法，是把實際問題加以抽象概括，得出關于實際問題的數學描述，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題。（如圖3所示）

實際應用問題的解決關鍵在于數學模型的建立，函數模型的建立步驟是：確定變量，收集數據→根據收集的數據畫出散點圖→根據散點圖選擇恰當的函數→建立函數關系式。也就是對變量進行回歸分析，得出回歸方程，并進行相關性檢驗。這一過程需要大量的運算，甚至無法用紙和筆來解決，這使學生對問題的解決變得厭倦甚至放棄。而利用Mathematical的函數擬合功能，使得對一些采集的實驗數據進行分析，建立適當的數學模型變得輕松、容易。這就使運算繁雜、作圖困難、數據處理難度大的問題，特別是一些具有真實背景的實際問題的解決成為可能。借助Mathematical等軟件，將實驗、嘗試、模擬、猜想、檢驗、調控、運算、推理、證明等作為數學學習的重要方式，更加重視學生的親身實踐活動，促進高層次數學思維，提高數學思考力度。讓學生“看到”他們以往只能想象的數學，“做”他們以往不可能做的數學，使學生感受到實實在在的“活”數學。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”