從數學思維的靈感上培養學生的解題能力

摘要在高中數學教學中，學生的思維定勢往往直接關系到學生的數學應用能力。如果在某個知識學習過程中的思維正遷移，那么就能熟練應用這些知識點來解決實際問題;反之會直接阻礙學生學習數學的能力。本文就數學思維的靈感上怎樣去培養學生在數學解題中的分析問題與解決問題的能力上作一探索。

關鍵詞學思維 定勢與靈感

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

解題能力教育心理學告訴我們，人的大腦對于一系列信息的處理，它首先是由按照進入大腦信息的時間順序進行的，其次是由進入大腦信息直感的簡單與復雜認知結構順序來進行的，當大量的信息不斷涌入時，就會產生思維的調節處理狀態，在重復處理信息時就會產生一種思維的固定模式。這種模式對后繼思維將起決定作用。這就是人們所說的思維定勢。它具有雙重性:一方面是思維已在正軌上加速前進，如果思維繼續沿此慣性發展，必能在短期內取得成果; 而另一方面，它會體現出思維的缺陷性，原地打圈走老路，陷入泥潭而不能自拔，從而對學習永遠擺脫不了一個難字，使學生產生了厭學情緒。下面我就習題課教學方面，闡述思維定勢在學生學習中的利弊以及怎樣正確地利用它來激發學生的創新思維，來提高學生解題能力的認識和做法。

1 學解題中激發學生的思維正遷移的作用

從特殊到一般的歸納思維和從一般到特殊的演繹思維是學生學習活動中經常用的思維形式。在解題教學中注重培養學生的歸納思維和演繹思維，就能引導學生迅速地發現題解的內在實質，從而達到舉一反三，觸類旁通，提高解題能力。因此在教學中，我們必須注意引導學生從實例入手中總結出解題規律，然后正確引導，讓他們主動發現規律去解更難一些的題目。

在對數部分教學中，我們讓學生做如下一道題目:

例1求值:-loglog。

解:原式= -logloglog。

這時讓學生有一個反思過程，引導學生總結解題規律:例如用對數恒等式化簡時，關鍵是改變冪的底數，使之與作為指數的對數的底數相同;運用對數恒等式化簡時，關鍵是將對數的真數表示為底數的冪的形式。當這一程結束時，教師要求學生完成下面作業:

例2求下列各式的值: (1)log;

(2);

(3)。

作業反饋信息表明，絕大部分學生都能按照上述規律得心應手地求出正確的結論，這一結果就是思維定勢的正遷移在發揮作用。數學思維中的類比聯想思維就是思維定勢的一種體現。遇到一些復雜的題目，我們要求學生借助于過去的經驗、知識、技能及思想方法來處理一些數學問題，學生的解題能力因之得到迅速提高。

例3求證:。

首先啟發學生利用裂項法相應得出

，

然后等式兩相加:。

做完這道題后，我們讓學生做如下題目:

如求證:

=

這時，教師給出和差化積公式，讓學生在公式下進行解題就能很快得到正確答案。由此可見，思維定勢也有主動思維的積極的一面，它對于培養學生掌握解題規律，提高應用能力中能起到一定的積極作用。

2 數學解題中擺脫思維定勢，培養學生的創新思維能力

思維定勢的往往使學生的思維停滯不前，阻礙學生的求知能力，使學生在學習上缺泛靈活性，因此在教學過程中應注意以下幾點:

(1)分析思維定勢造成的錯解成因。

例4:求

學生錯解:原式=。

分析:由于學生的思維定勢所產生的負作用，學生常常會套用開方運算而沒有注意算術根的概念，結果造成直觀錯覺。實際上如下解

解:;

。

因為，所以不存在。

(2)從思維定勢中走出來。教師在上習題課時總是喜歡“類型+方法”的模式，對此往往強調過死，一旦題目形式有所變化，學生就會感到束手無策，難于“不變應萬變”了。

例5已知。求證:(下轉第75頁)(上接第73頁)至少有一個值等于1。

分析:本題結論不是用式子表達，學生對此感到無從下手。其實，只要將原命題變更為等價命題，題證就容易了。

證明: ∴。

由此

故至少有一個值等于1。

(3)從思維定勢到創新思維質的飛躍。

例6:求證兩橢圓和的交點在以原點為中心的圓周上，并求這個圓的方程。

有些學生想從解聯立方程組入手求出它的交點，這種思維方法正是思維定勢的所存在的缺陷性的表現。其實，借助曲線系概念，將兩橢圓方程兩邊相加便得即。則兩橢圓的交點坐標也滿足此方程，而此方程的曲線是以原點中心的圓，所以兩橢圓的交點必在這個所求的圓上。 要克服思維定勢造成的消極影響，很重要的一點就是要在教學中致力培養學生的創新思維能力。為此，我們采取了如下幾點做法: 第一是采用變式教學，誘發創新思維，培養學生思維的多向性和靈活性品質。在解題教學中，我們采用同一內容的變式教學，這就是所謂“一題多變”，讓學生從不同角度多方面思考，拓展思維的深廣度。

例7已知圓和圓的方程式分別為:。

求大圓被小圓所截得劣弧的長。 我們要求學生利用變式知識和技能分別在不同坐標系內利用方程的兩種不同類型進行求解，并找出最優解法。學生先用直角坐標系下的普通方程去解，其計算比較麻煩;然后利用直角坐標系下圓的參數方程，通過參數方程式的幾何意義去解，其計算較為方便于工作;最后借助極坐標系，利用圓的極坐標方程得出最簡捷的方法。 第二是引導學生分析知識結構，激發創新意識，培養學生發散聯想和運動性思維品質。

例8:已知是三角形三邊之長，求證方程式無實數根。

本題從條件與結論的形式與內容來看，它是涉及幾何與代數的綜合題。包含知識點有二次方程，不等式，函數與二次曲線有聯系。從不同角度考慮有不同的解題目方法。 由此可見， 靈活地運用多種思維方法解題(即發散性思維)它首先注重了學生的思維能力的培養;而且也能從學生智力出發，提高學生的解決問題的能力。因此這種思維能力的培養教師的作用是關鍵。這里必須要求學生重視雙基(基礎知識和基本技能)，拓寬學生的思維視野，使學生的發散思維插上翅膀。 第三是在進行解題訓練時，鼓勵和引導學生獨立思考，探求最佳解題途徑，培養學生的獨創性和探索性品質。 綜上所述，思維定勢與創新思維是一對矛盾的整體，只有正確處理好它們之間的關系，才能真正培養學生的應用知識與解決問題的能力，從而激發學生學習數學的思維靈感，提高學生的數學能力。