如何培養學生良好的數學認知結構

數學教學的本質是學生在教師的引導下能動地建構數學認知結構，并使自己得到全面發展的過程。數學教學的根本任務就是要造就學生良好的數學認知結構，以滿足后繼的學習需要，最終提高學生的問題解決能力。那么，在數學教學中如何幫助學生建構良好的數學認知結構呢?筆者在此提出建構良好的數學認知結構的四條教學策略。

1.熟悉學生原有的數學認知結構

有意義學習的條件表明，要有效地接納新知識，學生的認知結構中必須具備適當的觀察。因此，要發展學生良好的數學認知結構，教師首先必須熟悉學生原有的數學認知結構，這樣才能知道選擇教什么和怎樣教。教師可以通過提問、作業、測驗、個別談話等方式去了解學生是否已經具備相關的觀念。當教師對學生的數學認知結構有了全面而又細致的認識之后，就可以通過適當的教學手段幫助學生建構那些缺少的觀念，明晰那些模糊的觀念，強化其穩定性。

2.創設良好的問題情境

有意義學習的條件之一是學習者必須具備有意義學習的心向，即學習者積極主動地把符號代表的新知識與他的認知結構中原有的適當觀察加以聯系的傾向性。要使學生具有這種“心向”，教師就要創設良好的問題情境。良好的問題情境應具備以下條件。

(1)讓學生明白自己將要學到什么或將要具備什么能力，這是使學生自覺參與學習的最好“誘惑”。例如，對于運用公式法分解因式的第一節課“平方差公式”，教師可以這樣來創設問題情境。

師:在一次智力搶答競賽中，主持人提供了兩道題:85²-84²=?54²-46²=?主持人的話音剛落，就立刻有一個學生站起來搶答說:“第一題等于169，第二題等于800”，其速度之快，簡直讓人以不假思索之感，同學們，你知道他是如何計算的嗎?

生:……

師:學了今天的平方差公式，就可以揭開這個謎底。

如此來創設問題情境，就可使學生產生了“我也要成為他那樣的快速搶答者”的渴望。

(2)造成認知沖突，以打破學生的心理平衡，激發學生彌補“心理缺口”的動力。例如，在“線段的垂直平分張”的教學中，教師可以如此創設問題情境:在草原上有A、B、C三個村莊，現在要為它們設置一個物資供應站P，使得P到A、B、C的距離都相等，那么P應該設在哪里呢?然后教師用三條橡皮筋一端系在一起作為P點，另一端分別固定在A、B、C三點，教師一邊移動點P一邊問:PA、PB、PC的長度相等嗎?通過幾次嘗試之后，學生體會到，單靠觀察是不準確的，用測量的方法也不可行。最后，教師指出:“只要我們掌握了線段的垂直平分線的知識，這個問題易如反掌。”這時學生已產生了心理缺口——如何準確地確定點P的位置呢?這樣，學生就會積極地進入新知識的建構學習。

(3)問題情境應是學生熟悉的，最好是從學生熟悉的生活情境和生產實際這些角度去創設問題情境，這樣才能保證學生有相關的觀念來理解問題，也才有可能使學生主動積極地建構他們的數學認知結構。例如，為了使學生理解數軸的意義，教師可以通過“水平放置的溫度計模型”來創設問題情境。

(4)提出問題的方式和問題的難度應適宜，提出問題的方式極大地影響著學生解決問題的積極性和成功率。問題過難，學生無法入手，望而卻步;問題太容易，學生學不到新東西，他們沒有興趣。

3.突出數學思想方法的教學

學校教學的目的就是要使學生能把學得的內容遷移到新情境中去，知識越具體，應用的范圍就越狹窄，只能用于非常具體的情境，容易遺忘;概括性越高，其應用的范圍就越廣，隨時可用于任何情境中的類似問題，有利于保持。數學思想方法是數學中的一般性的原理，它有高度的概括性，有利于學習的遷移。因此，要發展學生良好的數學認知結構，教師就必須突出數學思想方法的教學，幫助學生建構思想方法層次上的數學觀念。如配方法、換元法、待定系數法、反證法、數學歸納法等基本方法;實驗、觀察、猜想、類比、分析、綜合、抽象、概括、分類、歸納、演繹等思想方法;方程的思想、函數的思想、極限的思想，化陌生為熟悉的思想、化繁為簡的思想、特殊與一般的互化的思想、正難則反的思想、順推與逆推相結合的思想、動靜轉化的思想等高層次的思想觀念。

4.注意整體性教學

要發展學生良好的數學認知結構，教師就必須注意整體性教學。整體性教學有兩個方面的要求。

(1)注意知識組塊的教學。

孤立的知識教學不可能建立起層次分明和聯系緊密的觀念系統。因此，新知識的教學不能孤立進行，教師應把新知識納入原有的觀念系統中進行整體考慮，使新知識與原有的相關知識相聯系，并把這些有聯系的知識點重新組織為一大的知識組塊。這樣既有利于知識的保持，又有利于知識的檢索與應用。

(2)實施由整體到部分，再由部分到整體的教學。

數學知識結構是由一些部分構成的有機整體，它具有嚴密的邏輯性和完備的系統性。整體由部分構成，要把握整體，就要先揭示整體的結構和掌握部分。因此，教學應首先從整體到部分。在初中數學中，整體主要表現為一個小單元、一小節、一章和一門學科，部分則是一些具體的知識內容。教師可以就將要學習的整體知識中一些關鍵和重要的內容提出相應的問題，造成學生認識上的沖突，接著從這一整體的認識的研究對象、研究方法和用途等方面給學生一個全面的概念，使學生對這一知識單元有一個整體的認識，然后逐個學習每一部分的內容。因此，在掌握部分之后，教師要根據各個部分之間的關系(如從屬關系、交叉關系、矛盾關系、對立關系、邏輯關系等)，把這些部分聯系起來，形成一個層次分明、類別清楚和聯系緊密的網絡結構。