“轉化”思想在小學數學中的應用

中國歷史上有個很有名的故事——“曹沖稱象”。年僅六歲的曹沖用許多石頭代替大象，讓石頭的重量和大象等重，通過一次次稱石頭的重量，從而解決了困擾當時很多有學問的成年人的難題。他的聰明在于將“大”轉化成“小”，將無法稱的“大象”轉化成可以稱的“石頭”。由此可見，轉化的思想就蘊藏于我們的實際生活中。

日本著名數學教育家米山國藏指出:“學生所學的數學知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數學，通常在走出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，惟有深深銘刻于頭腦中的數學思想和方法等隨時地發生作用，使他們受益終身?！笨梢姡處熢诮探o學生知識的同時，更應滲透數學思想與方法。小學數學教學中的數學思想有很多，其中“轉化”的思想貫穿整個小學數學的教學，所以顯得尤為重要。

“轉化”作為一種基本的數學思想，雖然沒有被單獨、明顯地提出來，但在小學各個年級都或多或少地有所涉及。那么在小學數學教學中如何去挖掘并適時地加以滲透呢?筆者根據自身的數學教學實踐談幾點見解。

一、在推導計算公式時滲透“轉化”的思想

平面圖形的面積計算是小學數學教學的重要組成部分。如三角形、平行四邊形的面積計算公式都是在長方形面積計算的基礎上教學的。比如在教學《平行四邊形面積計算》時，筆者是這樣設計的。

在導入新課時，筆者首先出示一個長方形，要求學生說出其面積計算的方法:長×寬(a×b)。接著，筆者在圖旁出示一個平行四邊形，讓學生思考這個平行四邊形的面積怎樣算。學生有兩種回答:一是用數小方格的方法來算面積;二是兩邊相乘(a×b)。顯然，第二種想法是錯誤的。筆者不去評判對錯，而是肯定這位學生運用了“類推”的數學思想方法。然后，筆者從這位學生的錯誤想法引導開去，師生共同探討，得出結論。這時將平行四邊形左移至長方形圖上，筆者引導學生比較:兩個圖形的面積一樣大嗎?(不一樣大。)哪個大?大多少?經過仔細觀察比較，學生發現右圖中的陰影部分就是長方形面積比平行四邊形面積大的部分。既然兩個圖形的面積不一樣大，這位同學的a×b能算出平行四邊形的面積嗎?(不能。)學生懂得了這個想法是錯誤的。那么，這個平行四邊形的面積到底怎樣計算呢?今天我們就來學習《平行四邊形面積的計算》(板書課題)。

新知識教學過程中，學生限于自己的知識水平，在思考的過程中出現一些錯誤想法是正常的。教師應在備課時“下水”思考，超前估計，順勢進行引導點撥，引出正確想法，為下面求平行四邊形面積時需要用到它的高而不是斜邊埋下伏筆。

在面積計算公式的推導過程中，筆者引導學生討論:上圖中平行四邊形的面積應該怎樣計算?有的學生將長方形外的小直角三角形平移進來，原來的平行四邊形就變成了一個長方形。這個長方形的面積要用平行四邊形的底乘以平行四邊形的高來計算。筆者充分肯定了學生的發現，然后要求學生操作驗證:上面的平行四邊形經過平移之后，剛巧變成了一個長方形，我們能不能把任何一個平行四邊形都轉化成長方形呢?試試看。這一問題拋給學生后，筆者組織學生動手操作，通過割補的方法將平行四邊形變成和它面積相等的長方形，讓學生從中感受到轉化的思想(如圖1)，進而根據平行四邊形與長方形兩者之間的關系，類推出平行四邊形的面積計算公式。

在學生操作時，筆者進一步追問:是不是每個平行四邊形都可以剪拼成長方形?平行四邊形剪拼成長方形后，它的面積大小有沒有改變?

學生通過多次驗證，推導出平行四邊形的面積公式，筆者提問:我們已經會求長方形的面積，那么怎樣求平行四邊形的面積呢?我們看，平行四邊形的底和高分別相當于拼成的長方形的什么?板書:長方形的面積=長×寬，平行四邊形的面積=底×高。

在此基礎上，筆者進行了小結:各種平面圖形是有一定聯系的，也是可以互相轉化的。我們將平行四邊形轉化為已經學過的長方形，從而找到了計算平行四邊形面積的方法。這種方法，我們以后還會用到。

學生通過轉化推導不僅可以經歷從難到易，從未知到已知的過程，而且可體會轉化思想在學習數學中的作用。轉化指導也為學生以后學習梯形的面積計算提供了策略和方法。

二、計算教學中滲透“轉化”思想

數學家波利亞曾說:“當原有問題看來不可解時，你不要忘記人類的文明之處，就在于迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于像出某個設當的輔助問題。”這兒所指的“繞過不能直接克服的障礙”實質就是轉化。在小學數學教學中，數學轉化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力”。例如口算125×56時，我們可將它轉化成125×8×7，將56這個數轉化成8×7這一條算式，從而避免繁瑣的筆算過程。轉化思想還表現為“把求解的過程轉化為已有知識范圍內可解的問題”。比如小數乘小數的計算教學中，就是將小數乘法轉化成整數乘法來計算。例如計算3.6×0.18，先將它轉化成36×18，再根據積的變化規律，最終得出積。

三、解決實際問題中滲透“轉化”思想

如果數學思想是數學的靈魂，那么轉化思想就是數學思想的核心和精髓，是數學思想的靈魂。“稱象”的問題在今天看來已經不是一個難題了。類似于這樣的問題有很多，如在計算不規則圖形的面積(周長)時，將不規則的圖形“轉化”成學過的平面圖形，從而可以運用面積(周長)公式輕松解決。例如圖(2)，如果用常規的思維很難解答，但如果轉化思維，通過割補的方法，將其轉化成長方形，難題便迎刃而解了。再如圖(3)，如果想求出左邊圖形的周長，需要了解各條邊的數據，事實并非如此，我們只需稍作移動，并能將其轉化成右邊的長方形?？磥斫鉀Q類似問題的關鍵還是“轉化”。通過轉化，將未知轉化為已知，將繁瑣轉化為簡單，將抽象轉化為具體?？梢哉f解決數學問題時，“轉化”思想幾乎無處不在。

轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。在數學操作中實施轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即遇到的問題，通過轉化變成比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題;或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程;或者從非標準型向標準型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透轉化思想，可以提高解題的水平和能力?！缎W數學課程標準》指出:課程內容，不僅包括數學結論，而且包括數學結論的形成過程和數學思想方法?？梢姅祵W思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。教師應充分挖掘教材中的數學思想方法，讓學生了解、學習并掌握這些思想方法，以便更好地、有效地開展自主學習。