近極端低溫事件的密度

摘要通過(guò)精確計(jì)算獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量集類在近極小值處的態(tài)密度，提供了一個(gè)定量分析近極端事件現(xiàn)象的方法。說(shuō)明了態(tài)密度的均值依賴于隨機(jī)過(guò)程分布的尾部與冪律尾部的關(guān)系，而收斂到兩種不同的極限形式。我們通過(guò)驗(yàn)證南京站點(diǎn)幾十年來(lái)的冬天溫度數(shù)據(jù)，得到了比較一致的結(jié)論。

關(guān)鍵詞極端低溫事件 態(tài)密度 極值分布

中圖分類號(hào):O17文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

令一列隨機(jī)觀察資料{X1，X2，……XN}是獨(dú)立同分布的，Xmin是序列里最小的，即:Xmin=min{X1，X2，……XN}一個(gè)接近Xmin的自然量——態(tài)密度(DOS)為:

(1)

其中r是可以從最小值中計(jì)算出的，并且.

可以通過(guò)DOS平均值來(lái)顯示(r，N)的極值特性，當(dāng)N→∞，(r，N)都收斂到P(x)的原始分布.為了計(jì)算出(r，N)，首先令公式(1)中最小值.Xmin=x。然后計(jì)算出其它的N-1個(gè)變量的條件概率密度函數(shù)

.

因此得到公式(1)中條件均值為

.

則在一N個(gè)IID隨機(jī)變量的集類中，它們的最小值Xmin=x的概率密度函數(shù)是:

(2)

因此，用上面的表達(dá)式代替和，通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算得到:

(3)

這是個(gè)很有用的結(jié)果，它對(duì)所有的N都是成立的，我們下一步分析其在N充分大時(shí)的極值特性。

在IID隨機(jī)變量中，眾所周知，min(x)是有極限分布的:

(4)

其中aN和bN依賴于原始分布P(x)和N。極值函數(shù)f(z)的類型依賴于屬于P(x)的尾部，通過(guò)計(jì)算，可以得到:

(5)

在極值統(tǒng)計(jì)中，趨向極值分布的收斂通常是非常的慢的。因此，這將很有意義的去計(jì)算，在N充分大時(shí)(r，N)的極限。為了這個(gè)目的，現(xiàn)在我們考慮p(X)的顯式形式，因此對(duì)任何給定的N，通過(guò)對(duì)公式(3)數(shù)值積分就可以準(zhǔn)確的計(jì)算出(r，N)，并且關(guān)于aN和bN的顯式形式可作為N的一個(gè)函數(shù)而得到。最后我們結(jié)合實(shí)例給出南京44年的極端低溫事件的態(tài)密度的變化情況:

圖1中的(a)和(c)用直方圖給出了南京站的冬季溫度不同數(shù)據(jù)的△T分布。(b)和(d)中實(shí)線代表用公式(3)積分得到的最小態(tài)密度的均值，虛線代表收斂函數(shù)(aN+r)，這里aN=0。

從上圖可以看出極端低溫事件的態(tài)密度的均值與原始溫度數(shù)據(jù)的分布有著密切的聯(lián)系，并且隨著溫度數(shù)據(jù)量的不斷增多，收斂的效果會(huì)越來(lái)越好。通過(guò)以上分析，我們可以看出，極端事件的態(tài)密度能很好的揭示極端事件的性質(zhì)，則可以通過(guò)研究極端事件的態(tài)密度來(lái)研究極端事件的一些特性。

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