淺談函數與實際應用

張 靜

函數在數學及實際生活中有著廣泛的應用,在我們身邊就存在著很多與函數有關的問題。而學生很難在整體上把握好。嘗試以現代教學思想來編排講授這一內容,能夠使學生的思維暢通。

一、理解函數定義

我們可以從方程的角度理解函數的值域,如果我們將函數y=f(x)看做是關于自變量x的方程,y在值域中任取一個值 y0,y0對應的自變量x0一定為方程 y0=f(x)在定義域中的一個解,即方程在定義域內有解;另一方面,若方程在定義域內有解,則一定為對應的函數值。從方程的角度,函數的值域即為使關于的方程在定義域內有解的取值范圍,如變形得,方程在定義域內有解的條件為f(x)-y=0,即為函數的值域。

二、激活思維,創新求法

利用函數的單調性觀察分析,利用互為反函數的定義域與值域的互換關系,利用配方法,利用換元法,利用判別式法等。這些方法分別具有極強的針對性,每一種方法又不是萬能的,要順利解答求函數值域的問題,必須熟練掌握各種技能技巧,根據特點選擇求值域的方法。這些解題思想與方法貫穿了高中數學的始終,而學生在學習這些知識的過程中,教師在不同階段零零碎碎的講解,學生感到變化較大,很難在整體上把握好。嘗試以現代教學思想來編排講授這一內容,能夠使學生的思維暢通,創新思維、發散性思維得到訓練和提升,激活了學生思維,激活了課堂;同時也培養了學生善于比較、辯證解題的科學認知的數學素質。

三、創新學習與應用

運用函數的值域解決實際問題關鍵是把實際問題轉化為函數問題,從而利用所學知識去解決。求函數值域要從以下幾個方面考慮:(1)求使反函數x=f(y)有意義的y的范圍。該方法不受函數有無反函數的限制,只要用反表達式x=f(y)求即可,而不管是否有反函數。當已知函數定義域有限制時,則問題會變得復雜,變成了求范圍的問題,有時也會用這種方法求函數最值。(2)換元(格外注意元的范圍)或看成幾個簡單函數的復合,再分層次分析簡單函數。(3)利用單調性結合定義域。這需要對函數的單調性較敏銳,能夠想到或觀察到函數的單調性。(4)利用圖像。此方法適用于圖像容易畫出的一些基本初等函數(冪函數、指數函數、對數函數、三角函數),這需要對一些基本的函數圖像掌握得比較扎實。(5)用均值不等式。用不等式的一些性質。個人認為,把求函數值域的方法作系統地講解,能幫助學生在學習中創新,在創新中學習,為學生在學習中能更好地分析問題、解決問題提供了理論基礎。嘗試以現代教學思想來編排講授這一內容,能夠使學生的思維暢通,創新思維、發散性思維得到訓練和提升。

函數在數學及實際生活中有著廣泛應用,適于激發學生學習數學的興趣和積極性,陶冶學生的情操。上述的數學問題在我們身邊有很多,只要你注意觀察、積累,并學以致用,許多數學問題就會迎刃而解。

(唐山市豐南區唐坊高中)