算理——生活事理的喚醒

王呂文

史寧中教授曾在一到六年級孩子中做過一個摸球的實驗:在袋子里放4個白球和1個紅球,從袋子里摸出1個球來,可能是什么顏色的呢?不同年齡段孩子的回答各不相同。一二年級的孩子答,我摸的是白球;三四年級的孩子答,我可能摸到白球,也可能摸到紅球;五六年級的孩子答,摸到白球的可能性比摸到紅球的可能性大。很顯然,學生作答的情況與其生活經驗有著顯著的聯系。數學課程必須以學生的認知發展水平和生活經驗為基礎。數學教學一個很重要的任務就是,用生活事理喚醒學生的數學認知,用生活事理幫助學生理解數學算理。

一、數學認知需要生活經驗的累積

數學是人們根據生活創造的,來源于生活、并且服務于生活。小學數學教學要加強與學生生活經驗的聯系,而不是把數學與生活割裂開來。數的概念的形成、基本的數量間的關系、數的運算等等,都與生活有著緊密的聯系,學生只有借助自己的生活經驗,才能正確理解這些關系,并且會在以后的學習和生活中自覺加以運用。

在一年級新生數學認知水平調查時,對于4+2=?如果直接問,4加2等于多少?部分兒童會默默無語,無法順利作答;但如果設置一個情境,比如:你有4粒糖,姥姥又給了你2粒。現在你一共有幾粒糖?這時大多學生會沉入情境,露出積極思考的表情,順利作答。這一案例中,第一種問法對新入學兒童的要求是比較高的。在他們的頭腦中,一是要建立起數(4和2)的概念。盡管有家長會對孩子進行一些早教,教他們認數和寫數,但這種數的認識常常不是從眾多的表象中抽象出來的,對幼兒來說是不牢靠的;二是要正確理解“加”這樣一個專業術語,這與大多數兒童的認知發展水平是不相適應的;第三,解決這一問題,兒童還要具備相應的運算技能。同樣要計算4+2,第二種問法雖然信息量增加了,但每條信息都是具體可感的,“姥姥”和“糖”還能勾起兒童愉快的生活記憶,敘述避開了兒童不熟悉的專業術語,兒童能在自己的生活經歷中找到原型,展開思維,回答的正確率也就高了。

數學的本質是研究“關系”。成人早已習以為常的單價、數量、總價,速度、時間、路程等數量之間的關系,兒童如果缺少生活經驗的積累,理解起來會相當困難。一位老師在學生剛剛認識了千米之后,讓學生估計自行車、摩托車、汽車等常見的交通工具每小時大約行駛多少千米,學生的答案五花八門,令人啼笑皆非。這一設計超越了學生生活經驗的范圍。估計常見交通工具的時速,需要的不僅僅是對靜態的1千米的認識,它還需要時間觀念的支撐,以及乘坐或是觀察這些交通工具的一系列有意識的綜合體驗,而這些是10歲孩子的生活經驗中還很膚淺的部分,暫時還不能被有機整合。所以,教學中千萬不能以成人的經驗代替學生的生活。

“數學教學必須從學生熟悉的生活情景和感興趣的事情中提供觀察和操作的機會,使他們感受到數學就在身邊,感受到數學的趣味和作用,對數學產生親切感。”所以我們在選擇研究題材時,要對題材加以取舍和改編,使它們更貼近學生的生活,為學生所樂于研究。比如傳統教材中典型的“進排水”問題:

一個水池安裝有一根排水管和一根進水管,單開進水管10小時可以注滿水池;單開排水管12小時可以把滿池水排空。如果兩管同時打開,多少小時能把空池注滿?

由于問題的情境離學生生活乃至成人生活都較遠,一邊進水又一邊排水不符合生活常理,激發不起學生的研究興趣,所以有人戲稱其為“瞎折騰”。其實日常生活中還是存在這樣的“邊進邊出”關系的,比如家庭的收入和支出、跑步過程中的追及等等。張奠宙教授指出,形式主義數學觀會給數學一副冷冰冰的樣子,拒人于千里之外,以至于絕頂睿智的大學者都不喜歡數學。不一定是他們學不會數學,而是數學的那副架子讓人產生不了興趣。

二、生活經驗需要經過加工才能成為數學認知

僅僅有了生活經驗,還不能形成抽象的數學認知。積淀下來的生活經驗只有經過類比、歸納、提煉、演繹、交流、討論、推廣等等深層次的加工,才能“點化”為數學認知和數學技能。

生活事理可以類化成數學算理。數學問題常常來源于生活,理清日常生活中事情發生發展的順序,往往就找到了解決數學問題的鑰匙。比如小學階段的列簡易方程解決問題,常常就是理清了事情發生發展的順序,方程也就躍然紙上。

生活經驗轉化成數學認知和技能,必須經過數學化的過程。相對于問題解決的結果而言,數學化的過程更為重要。學習兩位數除以一位數的除法時,有這樣一個例子:

把52個羽毛球平均分給2個班,這是一個生活問題。學生可以實際操作,先每個班分2筒(20個),再把剩下的一筒拆開,與2個零頭合并成12個,12÷2=6,每個班又可分得6個,從而得出52÷2=26個。其實,學生只是用生活經驗解決了一個分羽毛球的具體問題。不經過“數學化”的過程,是無法得出兩位數除以一位數計算的一般性方法的。教學過程中,要引導學生及時歸納、提煉,把生活經驗轉化為計算方法。

三、密切生活和數學的聯系

生活經驗是學好數學的基礎,學好數學也能更好地認識生活。數學教學需要把生活經驗和數學實踐統一起來,可以采用以下方法密切生活和數學的聯系。

1.在生活情境中提出數學問題。創設生活情境,在情境中提出問題,既能激發起學生探究的興趣,又能喚起學生的生活經驗,為探索問題的解決辦法埋下伏筆。

2.運用數學知識解決實際問題。把學過的數學知識用以解決實際問題,既能鞏固所學知識,又能讓學生體驗到數學的有用性,培養他們解決實際問題的能力。

3.用生活經驗探索解決數學問題。對于小學生而言,有些數學現象和規律是難于理解的。比如減法的運算性質a-b-c=a-(b+c),學生能夠記住,就是應用起來容易出錯,老師常常將其歸因為學生的粗心。其實,小學生對用字母表示的一般關系是不太習慣的,如果創設一個具體的情境,就能幫助加深理解:假設帶a元錢去超市購物,先買了一枝鉛筆b元,再買一枝鋼筆c元,結賬時可以先從a元里減去鉛筆的b元,然后再減去鋼筆的c元;也可以先把鉛筆和鋼筆的錢加起來,再從a元里一次性減去。要體現先加的過程,必須在b+c的外面添上括號。這樣兒童的記憶就會深刻。

4.開展數學活動體驗現實生活。數學實踐活動可以作為學生生活體驗的補充,現場活動中可以及時發現問題、提出問題和解決問題。實踐操作是真實生活的模擬,課堂教學中要在學生生活經驗不足之處及時安排操作實踐,讓兒童帶著問題現場體驗,在體驗中加深對數學知識的認識。 ■