某些半環上Green關系的刻劃

張娟娟

(西安工程大學理學院,陜西西安 710048)

某些半環上Green關系的刻劃

張娟娟

(西安工程大學理學院,陜西西安 710048)

假設S是乘法半群為完全正則半群的半環.給出了S上的Green關系˙H,˙L和˙D是S上的半環同余的等價刻劃,并利用冪等元的方法證明了在一定條件下˙D是S上的同余當且僅當˙L,˙R是S上的同余.

完全正則半群;半環;Green關系;同余;Mal’cev積

1 引言

Green關系在半群理論發展過程中扮演著非常重要的角色,因此對于Green關系的研究是一項有意義的工作.文[1-2]詳細闡述了半群上的Green關系理論.顯然,半環的加法半群與乘法半群都有各自的Green關系.在文[3-4]中,趙憲鐘教授對冪等元半環的加法半群,乘法半群上的Green關系進行了深入細致的研究.設S是乘法半群為完全正則半群的半環,本文將給出S上的Green關系˙H,˙L,˙D是S上的半環同余的等價刻劃,并利用冪等元的方法證明了在一定條件下˙D是S上的半環同余當且僅當˙L,˙R是S上的半環同余.本文直接使用的定義,記號及相關結論參看文[1-2,5].

2 格林關系˙H˙L,˙D的刻劃

定義1半環(S,+,·)是指非空集合S上裝有兩個二元運算“+”和“·”的(2,2)型代數,且滿足條件:

(i)(S,+)和(S,·)是半群;

(ii)(?a,b,c∈S)(a+b)c=ac+bc和c(a+b)=ca+cb.

需要注意的是:對于一般半環而言,乘法運算對加法運算具有分配律,然而加法運算對乘法運算并不一定具有分配律,這樣就導致半環的加法半群與乘法半群的地位并不是完全對等的.環和分配格均是半環的特例.冪等元半環簇是比分配格更廣的半環類,即滿足附加恒等式x+x≈x2≈x半環的全體.這樣,冪等元半環S的加法半群(S,+)和乘法半群(S,·)都是帶.冪等元半環簇記為I.

帶簇,完全正則半群簇分別記為B,CR.若V為B的子簇,則用()表示乘法(加法)帶屬于V的冪等元半環簇;若V∈[B,CR],則用()表示乘法(加法)半群屬于V的半環簇.例如: ˙R表示乘法半群是矩形帶的冪等元半環簇,˙CR表示乘法半群是完全正則半群的半環簇.

3 Green-關系是半環同余與,是半環同余之間的關系

[1]Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

[2]Petrich M,Reilly N R.Completely Regular Semigroups[M].New York:A Wiley-Interscience Publication, 1999.

[3]Zhao X Z,Guo Y Q,Shum K P.D-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Colloquium, 2002,9:15-28.

[4]Zhao X Z,Shum K P,Guo Y Q.L-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Universalis, 2001,46:75-96.

[5]潘秀娟,邵勇,田俊華.乘法半群為正規純整群的半環[J].純粹數學與應用數學,2005,21(1):76-79.

[6]Pastijn F,Zhao X Z.Varieties of idempotent semirings with commutative addition[J].Algebra Universalis, 2005,54:301-321.

The characterization of the Green relations on some semirings

ZHANG Juan-juan
(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an710048,China)

Let S be a semiring with a completely regular multiplicative semigroup.The equivalent characterizations of which the Green relations˙H,˙L and˙D are semiring congruences on S are given.And the result that ˙D is a congruence on S if and only if˙L and˙R are congruences on S is proved under certain conditions by using the method of idempotent elements.

completely regular semigroups,semirings,Green relations,congruences,Mal’cev product

O152.7

A

1008-5513(2009)04-0716-05

2008-06-30.

國家自然科學基金(10471112),陜西省教育廳自然科學專項基金(08JK432).

張娟娟(1979-),博士,研究方向：代數學.

2000MSC:08A15