一類非線性演化方程初值問題的冪級數解

朱春蓉,王建強

(1.安徽師范大學數學計算機科學學院,安徽蕪湖 241000;2.西北大學數學系,陜西西安 710069)

一類非線性演化方程初值問題的冪級數解

朱春蓉1,2,王建強1

(1.安徽師范大學數學計算機科學學院,安徽蕪湖 241000;2.西北大學數學系,陜西西安 710069)

研究了一類非線性演化方程初值問題.通過不變子空間方法,這類初值問題被約化為常微分方程組的初值問題.這類初值問題是適定的.本文給出了這類初值問題關于時間變量t的冪級數解.

非線性演化方程;初值問題;不變子空間;冪級數解

1 引言

其中ci為任意常數.換言之,稱線性子空間Wk為微分算子F的k-維不變子空間,如果F(Wk)?Wk.有許多作者都研究了非線性微分算子的不變子空間,并通過對非線性微分算子不變子空間的研究獲得非線性演化方程的精確解.Svirshchevskii為了得到非線性微分算子的不變子空間,將其允許的不變子空間視作一個常微分方程的基本解空間[1].Kaptsov通過尋求方程的微分約束,去獲得方程中微分算子的不變子空間[2].Galaktioniv研究了帶有二次非線性項微分算子的不變子空間,并利用不變子空間構造二次非線性演化方程的廣義分離變量解這種構造方法稱為不變子空間法[3].Zhdanov利用非經典對稱也給出了類似的結果[4].利用這些方法,一個非線性演化方程被約化為一個k-維常微分方程組.

為了研究初值問題(1),首先要將初值問題(1)約化為一個常微分方程組的初值問題.然后,利用這個約化后的初值問題,給出初值問題(1)關于變量t的冪級數解.在第2節中,將討論這類初值問題的適定性,并證明得到的冪級數解在t=t0的某個鄰域內的收斂性.在第3節中,將給出一個例子.

2 初值問題(1)關于時間t的冪級數解

這一節討論初值問題(1)的適定性,并給出它關于變量t的冪級數解.

假設線性子空間Wk=L{f1(x),···,fk(x)}為微分算子F的k-維不變子空間,即假設(2)式成立,且f(x)∈Wk.此時,f(x)可以表示為

其中ai(i=1,···,k)為某些常數.由不變子空間方法,可以得到初值問題(1)形如

其中i=1,···,k.由此,初值問題(1)被約化為常微分方程組初值問題(4).

由非線性常微分方程組初值問題的解的存在唯一性定理及解的可微性定理知,在初值問題(4)中,如果關于cj(i,j=1,···,k)有一階連續偏導數,那么初值問題(4)在t=t0的某個鄰域內存在唯一的連續解,且這個解作為t,t0,ai的函數,在它的存在范圍內是連續可微的[5].由函數F的光滑性以及u(x,t)的表達式(3),易知函數關于cj(i,j=1,···,k)也充分光滑.因此,有下面的定理成立.

定理1初值問題(1)是適定的.

利用初值問題(4)和鏈式法則,可以給出ci(t)在t=t0處的各階導數.這些導數可以按照如下公式給出:

并且由Cauchy-Kovalevski定理[6]和定理1知,這個冪級數解在此鄰域內是收斂的.另外,由非線性常微分方程組初值問題的解的延拓與連續性定理[5],初值問題(1)的解還可以被連續地延拓.

3 舉例

[1]Svirshchevskii S R.Ordinary differential operators possessing invariant subspaces of polynomial type[J]. Comm.Non.Sci.Num.Sim.,2004,9:105-115.

[2]Kaptsov O V,Vererkin I V.Differential constraints and exact solutions of nonlinear diffusion equations[J]. J.Phys.A:Math.Gen.,2003,36:1401-1414.

[3]Galaktionov V A.Invariant subspaces and new exact solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities[J].Proc.Royal Soc.Endinburgh,1995,125A:225-246.

[4]Zhdanov R Z,Andreitsev A Y.Non-classical reductions of initial-value problems for a class of nonlinear evolution equations[J].J.Phys.A:Math.Gen.,2000,33:5763-5781.

[5]王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].2版.北京:高等教育出版社,2003.

[6]Mcowen R C.偏微分方程-方法及應用(天元基金影印系列叢書)[M].北京:清華大學出版社,2004.

Power series solutions of initial value problems for a class of nonlinear evolution equations

ZHU Chun-rong1,2,WANG Jian-qiang1

(1.College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu241000,China; 2.Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an710069,China)

The initial problems of a class of nonlinear evolution equations were considered in this paper,which can be reduced to the initial problems of a class of systems of ordinary partial differential equations by invariant subspace method.The initial value problems are well posed.The power series solutions with respect to variable t of the initial problems are presented.

nonlinear evolution equations,initial value problem,invariant subspace,power series solutions

O175.29

A

1008-5513(2009)04-0749-03

2008-10-29.

西北大學研究生自主創新資助項目(07YZZ15),安徽師范大學青年基金(2009xqn55).

朱春蓉(1979-),講師,博士研究生,研究方向：偏微分方程.

2000MSC:35G25,35C10