一類兩種群均有收獲率的HollingII類生物捕食系統(tǒng)的定性分析

何德明,竇霽紅,何萬生

(1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水 741000;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710069)

一類兩種群均有收獲率的HollingII類生物捕食系統(tǒng)的定性分析

何德明1,竇霽紅2,何萬生1

(1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅天水 741000;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710069)

對(duì)一類兩種群均有收獲率的具HollingII類功能反應(yīng)的食餌-捕食系統(tǒng)作定性分析,利用常微分方程定性,穩(wěn)定性及分支理論,得到此類生物捕食系統(tǒng)平衡點(diǎn)的性態(tài)和極限環(huán)的存在,不存在的條件及開發(fā)研究的結(jié)論,補(bǔ)充和完善了前人的結(jié)果.

細(xì)焦點(diǎn);極限環(huán);存在性

1 引言

對(duì)于具有常數(shù)收獲率(或者無收獲率)和功能反應(yīng)的食餌-捕食兩種群模型的研究較多[13],但對(duì)于兩種群均有非常數(shù)收獲率的研究相對(duì)較少.本文將研究食餌種群具有非線性密度制約而捕食種群和食餌種群同時(shí)具有非常數(shù)收獲率和HollingII類功能反應(yīng)的食餌-捕食兩種群模型

上述方程中E是對(duì)兩種群捕撈強(qiáng)度,q1,q2分別表示對(duì)兩種群的收獲率.

基于系統(tǒng)的生態(tài)意義,以下討論僅在ˉG={(x,y)|x≥0,y≥0}中進(jìn)行.

2 化簡(jiǎn)模型

3 平衡點(diǎn)及其性態(tài)

4 極限環(huán)的不存在性

5 極限環(huán)的存在性

2)0＜?A2+9A4+32A5?1,A2+2A3+3A4+4A5＜0時(shí),系統(tǒng)(3)在M點(diǎn)附近至少存在兩個(gè)極限環(huán).

證明當(dāng)A2+2A3+3A4+4A5=0時(shí),?A2+9A4+32A5=0,則M為二階穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn),而?A2+9A4+32A5＞0時(shí),則M為一階不穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn),穩(wěn)定性發(fā)生反轉(zhuǎn),在點(diǎn)M的領(lǐng)域中跳出一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán),所以結(jié)論1)成立.而當(dāng)?A2+9A4+32A5＜0時(shí),點(diǎn)M又變?yōu)榉€(wěn)定的粗焦點(diǎn),穩(wěn)定性發(fā)生反轉(zhuǎn),在點(diǎn)M的領(lǐng)域中跳出第二個(gè)極限環(huán),所以結(jié)論2)成立.

6 極限環(huán)存在與否時(shí),收獲率所應(yīng)滿足的條件

極限環(huán)對(duì)應(yīng)著生態(tài)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng),它的存在與否對(duì)人們的生產(chǎn)生活具有重要意義.若系統(tǒng)存在極限環(huán),則食餌與捕食者可以達(dá)到振蕩平衡狀態(tài);而不存在極限環(huán),就有可能食餌或者捕食者走向滅絕,這是我們所不希望看到的.下面研究對(duì)食餌的收獲率q1與捕食者收獲率q2在滿足什么條件時(shí),系統(tǒng)(3)就沒有極限環(huán)或者存在極限環(huán).

6.1 極限環(huán)不存在

系統(tǒng)(3)是沒有極限環(huán)的,即當(dāng)對(duì)食餌的收獲率q1與捕食者收獲率q2滿足以上條件時(shí),系統(tǒng)(3)是沒有極限環(huán)的,從而食餌與捕食者達(dá)不到振蕩平衡狀態(tài).

6.2 極限環(huán)存在

現(xiàn)在討論如何控制對(duì)食餌的收獲率q1與捕食者收獲率q2,使得系統(tǒng)(3)至少存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán).以下都是假設(shè)在定理3的條件1)成立下討論.

由A2+2A3+3A4+4A5=0可得?A2=2A3+3A4+4A5.將此項(xiàng)代入?A2+9A4+32A5后可得

當(dāng)q2保持不變,q1增大時(shí),由?A2+9A4+32A5的表達(dá)式可知,?A2+9A4+32A5逐漸減小,又因?yàn)閝1?→+∞時(shí),?A2+9A4+32A5?→?∞,所以?A2+9A4+32A5可充分接近0.所以此時(shí)在對(duì)捕食者的收獲率q2保持不變,增大對(duì)食餌的收獲率q1時(shí),可使系統(tǒng)(3)至少存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán),從而食餌與捕食者逐漸達(dá)到振蕩平衡狀態(tài).

[1]劉宣亮.具有收獲率和第二類功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)可以至少存在兩個(gè)極限環(huán)[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1994,9(5):192-199.

[2]聶益民.一類食餌種群具有收獲率的HollingII類功能反應(yīng)生態(tài)系統(tǒng)的定性分析[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2001,29(1):2-5．

[3]劉美娟,沈伯騫.捕食者種群具有密度制約的一類厭食系統(tǒng)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1999,15(2):7-13.

[4]蔡燧林,張平光.方程的中心焦點(diǎn)判定[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1993,16(1):107-113.

[5]葉彥謙.極限環(huán)論[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1984.

[6]張錦炎.常微分方程幾何理論與分支問題[M].北京:北京大學(xué)出版社,1987.

A qualitative analysis of a kind of food-predator systemes with HollingII functional resonse and harvesting rates

HE De-ming1,DOU Ji-hong2,HE Wan-sheng1

(1.School of Mathematics and Statistics Institute,Tianshui Normal University,Tianshui741000,China; 2.Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an710069,China)

For a class of two kinds of groups have harvested the rate of functional response with HollingII Prey-predator system for qualitative analysis,using ordinary differential equations characterization,stability and bifurcation theory,to be such a biological predator-prey system behavior of the equilibrium point and limit cycle The existence of non-existent conditions and the conclusions of research and development to complement and improve the results of their predecessors.

weak focus,limit,existence

O175

A

1008-5513(2009)04-0752-08

2008-06-10.

甘肅省教育廳科研項(xiàng)目(0608-04),天水師范學(xué)院中青年教師科研資助項(xiàng)目(TSA0932).

何德明(1974-),碩士,研究方向：常微分方程定性與穩(wěn)定性理論.

2000MSC:34C05