正規密碼H#-富足半群的結構

陳益智,邵勇

(1.廣東惠州學院數學系,廣東惠州 516007;2.西北大學數學系,陜西西安 710127)

正規密碼H#-富足半群的結構

陳益智1,2,邵勇2

(1.廣東惠州學院數學系,廣東惠州 516007;2.西北大學數學系,陜西西安 710127)

證明了H#-富足半群S是正規密碼H#-富足半群當且僅當它是完全J#-單半群的強半格.該結果也是正規密碼超富足半群和正規密碼群并半群分別在超富足半群和完全正則半群上的相應結構定理的推廣.

#-格林關系;正規密碼H#-富足半群;完全J#-單半群;強半格

1 引言

文[1-2]中,作者引入了格林?-關系.它的等價表述如下[3]:設S是半群

其中,J?(a)和J?(b)分別是由a和b生成的主?-理想.

文[3]中,作者研究了富足半群,這類半群的每個L?-類和每個R?-類都包含了至少一個冪等元.此外,作者還給出了超富足半群的概念,即每個H?-類都包含有一冪等元的半群稱為是超富足半群.容易看出,富足半群、超富足半群分別是正則半群和完全正則半群的真推廣.此外,文[4]中系統地研究了超富足半群的結構,推廣了文[5]中的關于完全正則半群結構的相應結果,并完善了文[3]中關于超富足半群的相關結論.

由文[3]知道,如果半群S的每個冪等元都是本原的,那么S就被稱為是本原的;如果富足半群S是本原的,并且S的冪等元生成一個正則子半群,則S稱為是完全J?-單半群;S是完全J?-單半群也等價于S是超富足半群并且是J?-單的.顯然,完全J?-單半群是由Clifford和Petrich在文[6]所研究的完全單半群的推廣.

最近,文[7]定義了一類新的格林關系:#-格林關系.即

由文[8]可知,超富足半群S是正規密碼超富足半群當且僅當它是完全J?-單半群的強半格.同時,注意到H#-富足半群是超富足半群的推廣,完全J#-單半群是完全J?-單半群的推廣,于是,自然地我們會考慮這樣的問題:正規密碼H#-富足半群是否與完全J#-單半群的強半格等價?

本文就上面提出的問題進行了研究探討,且證明給出:半群S是正規密碼H#-富足半群當且僅當它是完全J#-單半群的強半格.該結果也是正規密碼超富足半群和正規密碼半群在超富足半群和完全正則半群上的相應結構定理的推廣.

為了給出本文主要結果,首先引進了#-富足半群上的自然偏序,然后探討了H#-富足半群的若干性質和特征,最后證明了正規密碼H#-富足半群的主要結構定理,同時還對其兩類特殊情形進行了探討.

對于本文未提及的概念和術語,讀者可參看文[7,9-11].

2 #-富足半群上的自然偏序

本節將主要引進#-富足半群上的自然偏序的概念.

證明我們只需證L#(xa)?L#(a)即可.顯然,xa∈S1a,其中S1a是包含a的最小左理想.由于L#(a)是一個包含a的左理想,故有S1a?L#(a),從而xa∈L#(a).另一方面,因為L#(xa)是包含xa的最小左#-理想,并且L#(a)也是左#-理想,于是,L#(xa)?L#(a).

特別地,對于半群S的正則元素來說,上述所定義的偏序剛好就是文[12]所研究的正則元素偏序的情形.

類似地,可以證明≤r也是偏序.另外,直接驗證可知,當≤l和≤r限定在E(S)時剛好就是ω.

現在,定義#-富足半群上的自然偏序為≤=≤l∩≤r.容易看出,我們所定義的偏序正是正則或富足半群上的自然偏序的的一個推廣[12-13].

3 主要結果

引理3[7]設S是H#-富足半群,則H#是同余當且僅當對任意的a,b∈S,(ab)0=(a0b0)0.

引理4[7]密碼H#-富足半群S是完全J#-單半群Sα的半格Y,記為S=(Y,Sα).

命題2設S=(Y,Sα)是一個密碼H#-富足半群.則下列命題成立:

(1)若a∈Sα且α≥β,則存在b∈Sβ使得b≤a;

(2)若a,b,c∈S,bH#c且b,c≤a,則b=c;

(3)若a∈E(S),b∈S且有b≤a,則b∈E(S).

證明(1)令a∈Sα,b1∈Sβ.因為H#是同余,且注意到aH#a0,有

(2)若a,b,c∈S,b,c≤a,則存在e,f,g,h∈E(S)使得b=ea=af,c=ga=ah.因為S是H#-富足半群,且注意到eb=b,bH#b0,從而有eb0=b0.類似地有c0h=c0.又bH#c,所以ec=ec0c=eb0c=b0c=c0c=c.類似可得bh=b.于是b=bh=eah=ec=c.

(3)若a,b∈S且b≤a,則存在e,f∈E(S)使得b=ea=af.又因為a∈E(S),所以

這即表明b∈E(S).

命題3設S=(Y,Sα)是正規密碼H#-富足半群,則下列命題成立:

(1)若a∈Sα,則對任意的α≥β,存在唯一的aβ∈Sβ使得aβ≤a;

(2)對于任意的α≥β,若對于a∈Sα,b∈Sβ,存在冪等元e∈Sα使得e≤a0,則有eab= ab,bae=ba,ea=ae以及(ea)0=e.

證明(1)由命題2的(1)及其證明過程可知,對任意c∈Sβ,存在b=a(aca)0=(aca)0a∈Sβ使得b≤a.下證這樣的b是唯一的.

現假定還存在b1∈Sβ,使得b1≤a,則此時存在g,h∈E(S),滿足b=ga=ah.因為H#是同余,于是有

這即表明,bH#≤aH#,b1H#≤aH#.又因為,S/H#是正規帶,它可分解為矩形帶的(強)半格,故有S/H#=(Y,Sα/H#),從而

同理可得bae=ba.另外,因為該式是對任意的b∈Sβ都成立,所以可取b=e,此時,有ae=ea,由引理3,即可得(ea)0=(ea0)0=e.

命題4設S是密碼完全J#-單半群,?a,b∈S,若b≤a,則有b=a.

證明?a,b∈S,若b≤a,則存在e,f∈E(S)使得b=ea=af.因為S是H#-富足半群,且注意到eb=b,bf=b,從而有ba0=b=a0b.又bH#b0,所以a0b0=b0=b0a0,即b0≤a0.又因為S是完全J#-單的,所以由引理4得a0=b0,即有aH#b.顯然a,b≤a,故由命題2(2)可得b=a.

命題5若?是密碼完全J#-單半群S到密碼完全J#-單半群T的同態,則對于任意的a∈S有(a?)0=a0?.

證明首先,因為a0?=(a0a0)?=(a0?)(a0?)=(a0?)2,所以a0?∈E(T).另外

這即表明:(a?)0≤(a0?).又T是完全J#-單半群,由引理4可得(a?)0=(a0?).

從上面命題的證明過程可知,密碼完全J#-單半群之間的同態?其實是保持格林關系H#,L#, R#的,當然格林關系D#也將被保持.

定理1H#-富足半群S是正規密碼H#-富足半群當且僅當它是完全J#-單半群的強半格.

證明(?)設半群S是S=(Y,Sα,?α,β)是完全J#-單半群Sα的強半格Y,下面證明S是正規密碼H#-富足半群.為此,只需證明H#是S上的同余及S/H#是個正規帶.

i)先證H#是S上的同余.對于任意的a∈Sα,b∈Sβ,有ab=a?α,αβb?β,αβ.注意到密碼完全J#-單半群間的同態保持相應的格林關系,再由命題5,有

于是,由引理3,H#是同余.

ii)再證S/H#是個正規帶.首先,由于H#是同余,則S/H#是個帶,并且此時Sα/H#是矩形帶.設a∈Sα,b∈Sβ,c∈Sγ,并令δ=αβγ.于是

這即表明S/H#是個正規帶.

(?)設半群S是正規密碼H#-富足半群,由引理4,有S=(Y,Sα),其中Y為半格,并且對于任意的α∈Y,Sα為完全J#-單半群.對于α≥β及任意的a∈Sα,定義映射?α,β:Sα→Sβ,a 7→aβ,其中aβ是在命題3中使得aβ≤a成立的Sβ中的唯一的元素,并且對任意的c∈Sβ,有

綜上,證明了S=(Y,Sα,?α,β)是完全J#-單半群Sα的強半格.

注意到H#-富足半群是超富足半群的推廣,于是在定理1中,如果把H#-富足半群限定在超富足半群上討論,則此時正規密碼H#-富足半群剛好就是正規密碼超富足半群,完全J#-單半群正好就是完全J?-單半群.于是,得到文[8]中的定理4.3,即為下面的推論:

推論1超富足半群S是正規密碼超富足半群當且僅當它是完全J?-單半群的強半格.

此外,在定理1中,如果我們把H#-富足半群再限定在完全正則半群上考慮,則此時正規密碼H#-富足半群剛好就是正規密碼群并半群,完全J#-單半群也正好就是完全單半群.同樣地,可以得到如下推論

推論2完全正則半群S是正規密碼群并半群當且僅當它是完全單半群的強半格.

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A construction of normal crypto H#-abundant semigroups

CHEN Yi-zhi1,2,SHAO Yong2

(1.Department of Mathematics,Huizhou University,Huizhou516007,China; 2.Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an710127,China)

In this paper,a new construction theorem of normal crypto H#-abundant semigroups is given,i.e., an H#-abundant semigroup is a normal crypto H#-abundant semigroup if and only if it is a strong semilattice of completely J#-simple semigroups.Actually,the main result in this paper is a generalization of the corresponding ones of normal crypto semigroups and normal cryptogroups in superabundant and completely regular semigroups respectively.

Green’s#-relations,normal crypto H#-abundant semigroups,completely J#-simple semigroups, strong semilattice

O152.7

A

1008-5513(2009)04-0794-07

2008-11-10.

廣東省自然科學基金(8151601501000002,9151051501000066),廣東惠州學院校立基金(C208·0403,A08002).

陳益智(1980-),博士,講師,研究方向：代數學.

2000MSC:20M10