雙解析函數的一般復合邊值問題關于邊界曲線的穩定性

林娟,謝碧華

(1.福建商業高等專科學校基礎部,福建福州 350012; 2.福建師范大學數學與計算機科學學院,福建福州 350007)

雙解析函數的一般復合邊值問題關于邊界曲線的穩定性

林娟1,謝碧華2

(1.福建商業高等專科學校基礎部,福建福州 350012; 2.福建師范大學數學與計算機科學學院,福建福州 350007)

開口弧段Γ上的雙解析函數的Riemann邊值問題與單位圓周L上雙解析函數的Hilbert邊值問題復合而成的一般復合邊值問題,當L與Γ發生微小的光滑攝動后,借助于推廣的拉甫倫捷夫近似于圓的共形映射,將星形域映為單位圓域,從而得出攝動后的問題的解的表達式,同時討論了解的穩定性情況,并給出誤差估計.

雙解析函數;復合邊值問題;光滑攝動;共形映射;穩定性

1 引言

解析函數邊值問題不僅在理論上有著重要意義,而且在實際應用中也有著重要意義,自以Muskhelishvili為首的前蘇聯學派在這一領域做出大量杰出的開創性工作以來,得到了許多重要結果,國內尤為突出的是文[1],不少研究者還把經典的解析函數邊值問題理論向各種函數類上推廣[24].當邊界曲線發生微小的光滑攝動,解析函數的邊值問題的解的穩定性問題,近年來得到許多學者關注.文[5-8]也研究了相關攝動穩定性的問題,文[9]研究了雙解析函數一般復合邊值問題(簡稱為B-RH問題)的解的情況,本文將討論當G1(z)=G2(z)時,它的解關于邊界攝動的穩定性.

設L是復平面C中的單位圓周,D為L所界定的單位圓域,Γ=?ab是一條開口的光滑弧段,且Γ?D,記C2(L+Γ)為L+Γ上具有二階連續導數的函數類,定義

其中ω∈C2(L+Γ).對于充分小的ρ＞0,記B(ρ)={ω∈C2(L+Γ):‖ω‖2＜ρ}.L經過擾動ω∈B(ρ)后得到曲線

設曲線Lω是Lyapunov曲線,它所界定的區域關于原點是星形域Dω(近似于單位圓盤).Γ經過擾動ω∈B(ρ)后得到曲線

記E1為從a沿Γ至b的左側與從a沿Γω至b的右側所形成的區域,E2為從a沿Γ至b的右側與從a沿Γω至b的左側所形成的區域,D(D)為Lω所圍成的內(外)部區域.

2 B-RH問題的提出

3 B-RH問題的解的穩定性

3.1 當K1≥0且K2≥0時,B-RH問題的解的穩定性

3.2 當K1＜0且K2＜0時,B-RH問題的解的穩定性

3.3 當K1≥0且K2＜0或K1＜0且K2≥0時,B-RH問題的解的穩定性

討論同3.1,3.2.

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[7]Lin Juan,Wang Chuanrong.The stability of a kind of Cauchy type integral with respect to perturbation of integral curve and its application[C]//Yoichi Imayoshi,Yohei Komori,Masaharu Nishio,et al.Complex Analysis and its Applications.Osaka:Osaka Municipal Universities Press,2008.

[8]Lin Juan,Wang Chuanrong.Riemann boundary value problem with respect to the perturbation of boundary curve to be an open Arc[J].Acta.Math.Sci.,2009,29B(5):1481-1488.

[9]謝碧華,林娟.雙解析函數的一般復合邊值問題[J].福建師范大學學報:自然科學版,2009,25(4):22-25.

[10]王傳榮.復變函數方法[M].廈門:廈門大學出版社,1999.

The stability of the general compound boundary value problem for bianalytic functions about boundary curve

LIN Juan1,XIE Bi-hua2

(1.Department of Foundation,Fujian Commercial College,Fuzhou350012,China;
2.College of Mathematics and Computer Science,Fujian Normal University,Fuzhou350007,China)

For the general compound boundary value problems combining Riemann boundary value problem for bianalytic functions on an open arc Γ and Hilbert boundary value problem for bianalytic functions on a unit circle L,when smooth perturbation happens for Γ and L,by extending Lavrentjev’s conformal mapping on a region approximating to a unit disc from a star-like domain onto a unit disc,the authors show the solutions of the perturbed problem.They also discuss the stability of the solutions and give error estimates.

bianalytic functions,compound boundary value problem,smooth perturbation,conformal mapping,stability

O175.8

A

1008-5513(2009)04-0816-06

2008-09-14.

福建省自然科學基金(2008J0187),福建省教育廳科技項目(JA08255).

林娟(1965-),碩士,研究方向：邊值問題與積分方程.

2000MSC:30E20,30E25