三維拋物型方程的一個(gè)高精度恒穩(wěn)定的PC格式

馬明書,孟燕玲,朱霖霖

(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng) 453007)

三維拋物型方程的一個(gè)高精度恒穩(wěn)定的PC格式

馬明書,孟燕玲,朱霖霖

(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng) 453007)

對三維拋物型方程,構(gòu)造了一個(gè)高精度恒穩(wěn)定的PC格式,格式的截?cái)嗾`差階達(dá)到O(?t2+?x4),通過數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了所得格式較現(xiàn)有的同類格式的精度提高了二位以上有效數(shù)字;然后將Richardson外推法應(yīng)用于本文格式,得到了具有O(?t3+?x6)階精度的近似解,并將所得格式推廣到了四維情形.

拋物型方程;PC格式;截?cái)嗾`差;恒穩(wěn)定

1 引言

在研究熱傳導(dǎo)過程,氣體擴(kuò)散現(xiàn)象和電磁場的傳播等問題時(shí),常常遇到拋物型偏微分方程,在三維情形,其模型問題為如下初邊值問題

用差分方法求解上述問題,目前已經(jīng)有了一些較好的格式[1?2],但較理想的是交替方向法.它是將高維問題轉(zhuǎn)化為一系列的一維問題,通過一系列的三對角方程組的求解來得到高維問題的數(shù)值解,此法最早是由Peaceman和Rachford提出的[3].與此方法發(fā)展起來的同時(shí),前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家得到了與此方法關(guān)系密切的方法,稱為分裂法或分步法[4].例如被稱為預(yù)測－校正格式(簡稱為PC格式)的Yanenko格式[5]就屬于這種方法.它將顯格式的計(jì)算簡便性與隱格式的絕對穩(wěn)定性結(jié)合起來,但現(xiàn)有的PC格式精度都較低.例如文[6]中的兩個(gè)三維問題的PC格式其截?cái)嗾`差階關(guān)于空間步長和時(shí)間步長均是二階的.本文給出的PC格式保持了現(xiàn)有PC格式的計(jì)算簡便性與絕對穩(wěn)定性,但將截?cái)嗾`差階提高到了O(?t2+?x4).接著我們將Richardson外推法應(yīng)用于所得的格式,得到了具有O(?t3+?x6)階精度的近似解,并將所得格式推廣到了四維情形.文末的數(shù)值例子,表明了理論分析的正確性.

2 差分格式的構(gòu)造

設(shè)?t為時(shí)間步長,?x,?y,?z分別為x,y,z方向的空間步長.為簡便計(jì),取?x=?y=?z=l/M(M為正整數(shù)),方程(1)的解函數(shù)為u(x,y,z,t),記u(j?x,k?y,l?z,n?t)=u(j,k,l,n).用如下的PC格式逼近方程(1)

于是可知格式(12)或與之等價(jià)的格式(6)的截?cái)嗾`差階為O(?t2+?x4).

3 穩(wěn)定性分析

注意到格式(6)與(12)的等價(jià)性可得

定理PC格式(6)絕對穩(wěn)定.

觀察格式(6)可以看出,它的前三式是分別在x,y,z方向交替使用一維隱格式的三對角方程組求解,最后一式是顯式計(jì)算,因此計(jì)算量較小.本文的PC格式可推廣到四維或更高維的情形.

4 外推算法

5 格式的推廣

6 數(shù)值例子

用格式(6)及文[6]中的第一個(gè)PC格式求數(shù)值解,并與精確解u(x,y,z,t)=e?3tsinxsiny sinz相比較,取?x=?y=?z=π/16,?t=r?x2,r=1/2,1,計(jì)算到n=200,其數(shù)值結(jié)果如表1.

表1 各種格式計(jì)算結(jié)果比較圖

從以上結(jié)果看出,本文格式解與精確解有較好的吻合,它較文[6]的PC格式解至少精確二位有效數(shù)字;本文格式外推一次所得結(jié)果的精度又有明顯提高,這與理論分析完全一致.

[1]曾文平.多維拋物型方程的分支絕對穩(wěn)定的顯格式[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,19(2):112-121.

[2]馬明書,王同科.三維拋物型方程的一族高精度分支穩(wěn)定顯格式[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2000,21(10):1087-1092.

[3]Peaceman D W,Rachford H H.The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations[J].J. SIAM.,1955,3:28-41.

[4]Richtmyer R D,Morton K W.初值問題的差分方法[M].袁國興,譯.2版.廣州:中山大學(xué)出版社,1992.

[5]徐長發(fā).實(shí)用偏微分方程數(shù)值解法[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1992.

[6]胡建偉,湯懷民.微分方程數(shù)值方法[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

A PC scheme of high accuracy with absolutely stable for solving parabolic equation of three-dimension

MA Ming-shu,MENG Yan-ling,ZHU Lin-lin
(College of Mathematics and Information Science,Henan Normal University,Xinxiang453007,China)

This paper presents a PC scheme of high accuracy for solving parabolic equation of three-dimension. The scheme is absolutely stable and the truncation error for the method is O(?t2+?x4);Then Richardson’s extrapolation method is successfully applied to the scheme and the approximate solution with accuracy O(?t3+ ?x6)is gained with once extrapolation.Finally,the scheme is generalized to solve parabolic equation of fourdimention.

parabolic equation,PC scheme,truncation error,absolutely stable

O241.82

A

1008-5513(2009)03-0459-05

2007-12-31.

河南省教育廳自然科學(xué)基礎(chǔ)研究基金(20031100010).

馬明書(1941-),教授,研究方向:偏微分方程數(shù)值解法.

2000MSC:65M15,65M60