混合冪為2,3,a和b的丟番圖不等式

李偉平,龔克

(1.河南財(cái)經(jīng)學(xué)院信息學(xué)院,河南鄭州 450002;2.河南大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南開(kāi)封 475004)

混合冪為2,3,a和b的丟番圖不等式

李偉平1,龔克2

(1.河南財(cái)經(jīng)學(xué)院信息學(xué)院,河南鄭州 450002;2.河南大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南開(kāi)封 475004)

運(yùn)用Davenport-Heilbronn方法證明了如果η是實(shí)數(shù),λ1,μ1,μ2,μ3,μ4,θ1,θ2是非零實(shí)數(shù),并且不同一符號(hào),且至少一個(gè)λ1/μi(i=1,2,3,4)是無(wú)理數(shù),假設(shè)(i)a=3,3≤b≤11,或者(ii)a=4,4≤b≤5,那么對(duì)某些σ=σ(a,b)＞0,混合冪為2,3,a和b的丟番圖不等式有無(wú)窮多正整數(shù)解x1,…,x7.

關(guān)丟番圖不等式;混合冪;Davenport-Heilbronn方法

1 引言

對(duì)于變量為正整數(shù)的混合冪丟番圖不等式,文[3]證明了:令μ為實(shí)數(shù),λ1,…,λ6為不同一符號(hào)的非零實(shí)數(shù),且λ1/λ2是無(wú)理數(shù).設(shè)(i)a=3,b≥3;或(ii)a=4,4≤b≤9; 或(iii)a=5,5≤b≤6,則對(duì)某些σ=σ(a,b)＞0不等式

有無(wú)窮多正整數(shù)解x1,…,x6.

文[4]證明了:設(shè)κ是實(shí)數(shù),λ1,…,λ7為不同一符號(hào)的非零實(shí)數(shù),且至少有一個(gè)比值是無(wú)理數(shù).那么對(duì)0＜σ＜1/36,不等式

有無(wú)窮多正整數(shù)解x1,…,x7.

本文把(1.1)式中的冪數(shù)4推廣為a和b.我們的結(jié)果是

定理如果η是實(shí)數(shù),λ1,μ1,μ2,μ3,μ4,θ1,θ2是非零實(shí)數(shù),并且不同一符號(hào),且至少一個(gè)λ1/μi(i=1,2,3,4)是無(wú)理數(shù),假設(shè)(i)a=3,3≤b≤11;或者(ii)a=4,4≤b≤5,那么對(duì)某些σ=σ(a,b)＞0不等式

有無(wú)窮多正整數(shù)解x1,…,x7.

文[5]證明了a=b=3時(shí)的結(jié)論,當(dāng)a=b=4時(shí)文[4]已證明,于是我們省去這些情形的證明.

文中我們約定σ是依賴于a和b的正數(shù),δ是依賴于a,b和σ的充分小的正數(shù).符號(hào)?和?中隱藏常數(shù)至多依賴于λ1,μ1,…,μ4,θ1,θ2,a,b和δ.記e(x)=exp(2πix).符號(hào)meas(…)表示Lebesgue測(cè)度.

2 預(yù)備引理

根據(jù)定理的要求,我們不妨假設(shè)λ1/μ1是無(wú)理數(shù),λ1/μ1＜0.通過(guò)用2akxk代替xk(k=1,2),其中a1和a2是僅依賴于λ1,μ1,…,μ4,θ1,θ2的整數(shù),設(shè)

3 余區(qū)間上的估計(jì)

[1]Davenport H,Helbronn H.On indefine quadratic forms in five variables[J].Journal of the London Mathematical Society,1946,21:185-193.

[2]李偉平,王天澤.一個(gè)素?cái)?shù),兩個(gè)素?cái)?shù)的平方以及2的若干次冪和的丟番圖逼近[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2005,21(4):295-299.

[3]Baker R C,Harman G.Diophantine inequalities with mixed powers[J].Journal of Number Theory,1984,18:69-85.

[4]余紅兵.混合冪的丟番圖不等式(II)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1994,37(3):324-331.

[5]Cook R J.Diophantine inequalities with mixed powers[J].Journal of Number Theory,1977,9:142-152.

[6]Danenport H.Indefine quadratic forms in many variables[J].Mathematika,1956,3:81-101.

Diophantine inequality with mixed powers 2,3,a and b

LI Wei-ping1,GONG Ke2
(1.College of Information,Henan University of Finance and Economics,Zhengzhou450002,China; 2.College of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifeng475004,China)

In this paper,used Davenport-Heilbronn method it is shown that:Let η be real and let λ1,μ1,μ2,μ3, μ4,θ1,θ2be nonzero real numbers,not all of the same sign,such that at least one ratio λ1/μi(i=1,2,3,4)is irrational,and suppose that either(i)a=3,3≤b≤11,or(ii)a=4,4≤b≤5,then for some σ=σ(a,b)＞0 the Diophantine inequality with mixed powers 2,3,a and b has infinitely many solutions in positive integers x1,…,x7.

Diophantine inequality,mixed powers,Davenport-Heilbronn method

O156.4

A

1008-5513(2009)03-0497-05

2008-09-28.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671056).

李偉平(1972-),博士,講師,研究方向:解析數(shù)論.

2000MSC:11D75