牛頓變換Julia集的對稱性

陽衛鋒

(湖南工程學院數理系,湖南湘潭 411104)

牛頓變換Julia集的對稱性

陽衛鋒

(湖南工程學院數理系,湖南湘潭 411104)

主要討論多項式的牛頓變換Julia集的對稱性問題.利用復動力系統理論,證明了多項式P(z)的Julia集的對稱群是其牛頓變換NP(z)的Julia集的對稱群的子群.獲得了Julia集為一水平直線的充分必要條件.

牛頓變換;Julia集;對稱群;共形歐氏變換

1 引言

Julia集的性質是復動力系統研究的主要部分,而Julia集的幾何對稱性問題是其中一個重要課題.文[7]研究了多項式函數的Julia集的對稱性,文[8]研究了臨界有限的有理函數的Julia集的對稱性,文[9]分析了有理函數的Julia集具有平移不變性的情形.

定義1.1設R是一個有理函數,R的Julia集的對稱群Σ(R)為保持J(R)不變的共形歐氏變換σ構成的群,即Σ(R)={σ∈ε:σ(J)=J},其中ε={σ:σ(z)=az+b,|a|=1}.

當R是一多項式函數

其首項系數An=1,An?1=0.

文[7]證明了下列兩個定理

定理A設多項式P(z)的次數deg(P)≥2.則對稱群Σ(P)是由以P(z)的形心為中心的旋轉變換構成的.如果P(z)是標準型的,而且Σ(P)是有限的,則Σ(P)的階為使得P(z)可表示成P(z)=zrQ(zm)的最大整數m,其中Q(z)為一多項式.

定理B設多項式P(z)的次數deg(P)≥2.如果對稱群Σ(P)是無限的,那么J(P)是一個圓周,并且P(z)共軛于zn,其中n=deg(P).

由定理A知多項式的Julia集的對稱群只由旋轉變換構成,而有理函數的Julia集的對稱群中可以存在平移變換.文[9]得到下列重要定理

2 牛頓變換Julia集的對稱性

由于多項式P(z)與其標準型多項式是共形共軛,所以具有相同的動力學性質,然而各自的牛頓變換之間不一定是共形共軛的,從而可能具有不同的動力學性質.

易知n次多項式P(z)有至多n個標準型多項式與之對應,我們將P(z)的標準型多項式均記為PN(z).

即S?NP?S?1(z)=NPN(z),因此NP(z)與NPN(z)是共形共軛的.

以上表明牛頓變換對多項式不是保共軛.但是下面的定理表明,在一定程度上,牛頓變換對Julia集是保對稱的.

顯然有σ?NP?σ?1(z)=NP(z),故σJ(NP)=J(NP),從而可知σ∈Σ(NP).因此可得Σ(P)?Σ(NP).

定理3設多項式P(z)的次數deg(P)≥2,NP(z)是對應的牛頓變換,則J(NP)的對稱群Σ(NP)包含平移變換σ(z)=z+1當且僅當J(NP)是一水平直線.

證明當J(NP)是一水平直線時,顯然對稱群Σ(NP)包含平移變換σ(z)=z+1.

另一方面,若Σ(NP)包含平移變換σ(z)=z+1,則NP(z)滿足定理C的條件.故J(NP)是一水平直線或全平面.然而多項式P(z)次數至少為2,至少有一個零點,從而NP(z)有一個吸性不動點,因而F(NP)/=?,J(NP)/=?C.所以J(NP)是一水平直線.

那么,什么情況下牛頓變換的Julia集是一條直線?下面的定理回答了這個問題

定理4當且僅當多項式P(z)=c(z?a)n(z?b)n(n≥1,a/=b)時,J(NP)是一條直線.

[1]Beardon A F.Iteration of Rational Functions[M].Berlin:Springer-Verlag,1991.

[2]Milnor J.Dynamics in One Complex Variable[M].3rd ed.Princeton:Princeton University Press,2006.

[3]Carleson L,Gamelin T.Complex Dynamics[M].Berlin:Springer-Verlag,1993.

[4]周維民,任福堯.有理函數系隨機迭代系統的Julia集[J].科學通報,1991,36(21):1604-1604.

[5]龔志民,任福堯.關于隨機動力系統的Fatou-Julia猜測[J].純粹數學與應用數學,1996,12(2):23-27.

[6]陽衛鋒,李穎,龔志民.有限個有理函數的隨機復動力系統的Julia集[J].數學進展,2004,33(4):447-452.

[7]Beardon A F.Symmetries of Julia sets[J].Bull.London Math.Soc.,1990,22:575-582.

[8]Levin G.Symmetries on a Julia set[J].Adv.in Sov.Math.,1991,3:131-141.

[9]Boyd D.Translation invariant Julia sets[J].Proc.Amer.Math.Soc.,2000,128:803-812.

Symmetries of the Julia sets for Newton’s method

YANG Wei-feng
(Department of Mathematics Physics,Hunan Institute of Engineering,Xiangtan411104,China)

The symmetries of Julia sets of Newton’s method is investigated.Using the theory of complex Dynamical system,it is shown that the group of symmetries of Julia sets of polynomial is a subgroup of that of the corresponding Newton’s method.A necessary and sufficient condition for Julia sets of Newton’s method to be a horizontal line is arrived.

Newton’s method,Julia set,group of symmetries,conformal Euclidean isometry

O174.5

A

1008-5513(2009)03-0530-04

2008-09-28.

湖南省教育廳項目(06C245).

陽衛鋒(1977-),碩士,研究方向：復解析動力系統.

2000MSC:30D05