關于Hardy-Hilbert型積分不等式

彭琳,高明哲

(吉首大學師范學院數學與計算機科學系,湖南吉首 416000)

關于Hardy-Hilbert型積分不等式

彭琳,高明哲

(吉首大學師范學院數學與計算機科學系,湖南吉首 416000)

設=1且p＞1.通過引入一個適當的積分核函數和?參數λ(λ＞￠?1),創建了一種新型的Hardy-Hilbert型積分不等式.證明了其常數因子pλ+1+qλ+1Γ(λ+1)是最佳的,其中Γ(x)是Γ-函數.特別,當p=2時,得到了一種新的Hilbert型積分不等式.作為應用,給出了它的一種等價形式.

積分核函數;權函數;Γ?函數;Hardy-Hilbert積分不等式;最佳常數

1 引言

2 主要結果

并且常數因子?pλ+1+qλ+1￠Γ(λ+1)是使(2.1)式成立的最佳值.

證明應用Hardy的技巧和H¨older不等式來估計(2.1)式的左邊

3 一種等價形式

因此,不等式(3.1)式等價于(2.1)式.

如果不等式(3.1)式中的常數因子cp不是最佳的,那么由(3.4)式知:不等式(2.1)式中的常數因子也不是最佳的,這是一個矛盾.于是定理獲證.

同理,可以建立與推論2.2以及推論2.3相應的等價形式,這里從略.

[1]Hardy G H,Littiewood J E,Polya G.Inequalities[M].Cambridge:Cambridge Univ.Press,1952.

[2]高明哲,徐利治.Hilbert不等式的各種精化與拓廣綜述[J].數學研究與評論,2005,25(2):327-343.

[3]匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟南:山東科學技術出版社,2004.

[4]楊喬順,高明哲.Hardy-Hilbert積分不等式的一個新推廣及其應用[J].純粹數學與應用數學,2005,21(1):91-98.

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[6]《實用積分表》編委會.實用積分表[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2006.

On the Hardy-Hilbert type integral inequality

PENG Lin,GAO Ming-zhe
(Department of Mathematics and Computer Science, Normal College of Jishou University,Jishou416000,China)

integral kernel function,weight function,Γ-function,Hardy-Hilbert integral inequality,the best constant

O178

A

1008-5513(2009)03-0541-05

2007-12-24.

湖南省教育廳資助科研項目(06C657).

彭琳(1972-),講師,研究方向:函數論,概率論,微分方程.

2000MSC:26D15