Tor-torsion pair與弱整體維數

邢建民

(青島科技大學數理學院,山東青島 266061)

Tor-torsion pair與弱整體維數

邢建民

(青島科技大學數理學院,山東青島 266061)

利用torsion pair的方法討論了Tor-torsion pair的一些性質,目的是找到Tortorsion pair與環R的弱整體維數之間的關系,并得到了一個很好的不等式關系.

Tor-torsion pair;弱整體維數;平坦維數

1 引言

Cotorsion理論最早由Salce引入[1],很多作者都對其進行了深入地研究.在文[2]中給出了cotorsion pair與環的整體維數之間的關系.作為上述的推廣,在文[3]中給出了Tor-torsion pair的定義.作為進一步的研究,本文給出了Tor-torsion pair與環的弱整體維數之間的關系.

本文中R是任意的環,R-Mod定義為所有的左R-模類,Mod-R定義為所有的右R-模類.對于任意右R-模M,fdRM定義為M的平坦維數.其它定義詳見文[4].

2 主要結果及其證明

定義2.1[2]設R是環,F是右R-模類,C是左R-模類.我們稱(F,C)是一個Tor-torsion pair,如果對任意的右R-模F,F∈F當且僅當對任意的C∈C滿足(F,C)=0;類似的對任意的左R-模C,C∈C當且僅當對任意的F∈F都滿足(F,C)=0.

引理2.1設(F,C)是Tor-torsion pair.則F和C都是關于擴張,直和和正向極限閉的.

證明由Tor-函子的性質易證.

同理可證明給定的n=∞,恰好不存在這樣的s滿足0≤s＜∞.

對偶的我們可以得到

定理2.3設(F,C)是R-模的一個Tor-torsion pair.p=sup{fdRC|C∈C}(因此0≤p≤∞).若0≤t＜∞,則p是滿足下列條件的t的最小值:0≤t＜∞,且對任意的R-Mod M,如果0?→F?→Pt?1?→Pt?2?→…?→P0?→M?→0是部分平坦分解,則F∈F.若沒有這樣的s,則p=∞.

現在我們設m和l分別是R的左和右弱整體維數.(有可能m,l=∞).

定理2.4設(F,C)是R-模的一個Tor-torsion pair.且m,l,n,p如上定義,則max{m,l}≤n+p.

證明若n=∞或p=∞,不等式顯然成立.因此假設n,p＜∞,設M∈Mod-R,0?→

F?→Pp?1?→Pp?2?→…?→P0?→M?→0是M的部分平坦分解.由定理2.3.可得F∈F.再由n的定義可得fdRF≤n.因此對任意的右R-模,fdRM≤n+p;故l≤n+p.對偶可證m≤n+p.因此max{m,l}≤n+p.

(2)??(3)的等價類似可證.

定義2.2若Tor-torsion pair(F,C)滿足上述定理,則稱其是遺傳的Tor-torsion pair.我們可證明若F和C關于滿同態的kernel閉,則Tor-torsion pair(F,C)是遺傳的.

我們再給出n,p的另外的性質.

[1]Salce L.Cotorsion theories for Abelian groups[J].Sympos.Math.,1979,23:11-32.

[2]Enochs E E.Some remarks on global dimensions for cotorsion pairs[J].Rend.Sem.Mat.Univ.P adova, 2006,116:205–209.

[3]Trlifaj J.Handbook in Tilting Theory[M].Cambidge:Cambridge university Press,2007.

[4]Rotman J J.An Introduction to Homological Algebra[M].New York:Academic Press,1979.

Tor-torsion pair and weak global dimensions

XING Jian-min
(College of Mathematic and Physics of Qingdao University of Science and Technology, Qingdao266061,China)

Some properties of Tor-torsion pairs are discussed by using the torsion pair.The purpose of this paper is finding the relationships between Tor-torsion pair and weak global dimension of the ring R and a good inequality is obtained.

Tor-torsion pair,weak global dimension,flat dimension

O153

A

1008-5513(2009)03-0563-03

2007-11-05.

青島科技大學科研啟動基金(0022313).

邢建民(1978-),講師,研究方向：代數學.

2000MSC:20M19