利用遠場模式的不完全數據反演聲波阻尼系數

麥宏晏,王連堂

(1.長安大學理學院,陜西西安 710064;2.西北大學數學系,陜西西安 710069)

利用遠場模式的不完全數據反演聲波
阻尼系數

麥宏晏1,王連堂2

(1.長安大學理學院,陜西西安 710064;2.西北大學數學系,陜西西安 710069)

從阻尼邊界條件聲波散射問題的散射場遠場模式的部分數據信息出發給出了反演聲波阻尼系數的一種新方法,該問題既是非線性的又是不適定的,這里利用Tikhonov正則化方法將問題轉化為一個最優化問題,成功地處理了第一類算子方程的不適定性及該問題的非線性性,給出了具體的數值方法并對其收斂性進行了嚴格地證明,數值結果表明該方法是非常準確且簡單易行的.

阻尼邊界條件;遠場模式;反演;部分數據

1 引言

文[1-4,6,9]給出一些利用遠場模式的完全或不完全數據反演聲波阻尼系數和阻尼區域的結果.本文給出一種比文[4]更加簡單易行的方法.

考慮在各向同性的介質D?R2中傳播的聲波,令D是有界的單連通區域,?D是C2類的且取入射場為ui(x)=exp[ikx·α],其中k＞0是波數,α是單位向量.散射場記為us,全場記為u=ui+us,于是阻尼邊界條件的聲波正散射問題歸結為求u∈C2(R2)∩C(R2D),滿足

其中ν表示單位外法向量,λ(x)∈C(?D)是阻尼系數.

2 反演方法

假定k2在?D內部不是負的Lapacian算子的Dirichlet特征值,例如可以選擇?D是半徑為R的圓且kR不是球Bessel函數jn的零點,n=0,1,2,…,由文[8],利用單層位勢

2 收斂性分析

4 數值算例

下面我們給出具體的算法描述,為了獲得更準確的反演結果,取入射波為

表1 例1的反演結果

表2 例2的反演結果

圖1 λ(x)=的準確結果及反演結果

圖2 λ(x)=的準確結果及反演結果

這里正問題的參數n選取的越大,正問題計算精度越高,由此反演結果也會越好；不過參數n選取的過大,不僅增加了正問題的計算量,更是大大增加了反問題的計算量,從而使反問題的計算速度大大降低.參數N用來表示入射方向的個數,反演聲波阻尼系數和區域時,該參數取的太小不能反映真實情況,取的太大又增加了計算量.參數n1,n2與阻尼系數的逼近有關,取的越大,反演結果越準確,當然也會相應地增加計算量.綜合計算量和計算精度的考慮,同時參閱文[7]給出的誤差分析,本文參數的選取是合適的.

由上面的算例還看出由完全數據反演的結果比部分數據反演的結果要好,當δ取的較大時反演結果較好.

[1]Colton D,Monk P.A novel method for solving the inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves in the resonance region[J].SIAM J.Appl.Math.,1985,45:1039-1053.

[2]Colton D,Monk P.A novel method for solving the inverse scattering problem for time-harmonic acoustic waves in the resonance region II[J].SIAM J.Appl.Math.,1986,46:506-523.

[3]王連堂.反演聲波阻尼系數的一個逼近方法[J].計算數學,2000,22(3):265-274.

[4]王連堂,何志強.利用遠場模式的不完全數據反演聲波阻尼系數[J].計算數學,2003,25(2):245-256.

[5]Kitsch A,Kress R.An optimization method in inverse acoustic scattering[M]//Boundary Elements IX vol 3 Fluid Flow and Potential Applications.New York:Springer-Verlag Berlin Heidelberg,1987,3.

[6]Ochs R L.The limited aperture problem of inverse acoustic scattering:Dirichlet Bounary Contions[J].SIAM J.Appl.Math.,1987,47:1320-1941.

[7]Colton D,Kress R.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory[M].New York:Springer-Verlag, 1992.

[8]Colton D,Kress R.Integral Equation Methods in Scattering Theory[M].New York:Wiley-Interscience Publication,1983.

[9]王樞,孟文輝.利用遠場模式的完全與不完全數據反演聲波阻尼區域[J].純粹數學與應用數學,2006,22(1): 99-107.

Recovering the acoustic wave impedance coefficient from the incomplete far field pattern data

MAI Hong-yan1,WANG Lian-tang2
(1.The School of Science,Chang’an University,Xi’an710064,China; 2.Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an710069,China)

The method we are considering in this article is a novel method to recover the impedance coefficient from the knowledge of the incomplete far field pattern data of the scattered wave for the time-hormonic acoustic scattering problem.It is transformed into an optimization problem employing Tikhonov regularization method in order to solve the ill-posedness of the equation of the first kind and its nonlinearity successfully.Numerical method is given and the convergence of the method is rigorously proven.Numerical examples are shown that this method is both accurate and simple to use.

impedance boundary condition,far field pattern,recover,incomplete data

O175.29

A

1008-5513(2009)03-0566-07

2008-02-27.

長安大學科技發展基金(07J05).

麥宏晏(1972-),講師,研究方向：數學物理方程反問題.

2000MSC:31A25