三角代數上的廣義Jordan導子

馬飛,朱小龍,趙建堂

(1.咸陽師范學院數學與信息科學學院,陜西咸陽 712000; 2.寧夏師范學院數學與計算機科學學院,寧夏固原 756000)

三角代數上的廣義Jordan導子

馬飛1,朱小龍2,趙建堂1

(1.咸陽師范學院數學與信息科學學院,陜西咸陽 712000; 2.寧夏師范學院數學與計算機科學學院,寧夏固原 756000)

主要研究了三角代數上的廣義Jordan導子.利用三角代數上廣義Jordan導子和廣義內導子的聯系,證明了作用在一個含單位元的可交換環上的三角代數到其自身上的環線性廣義Jordan導子是一個廣義導子.

廣義Jordan導子;廣義內導子;廣義導子;三角代數

1 引言

在本文中,我們用R表示含單位元I的可交換環,A是作用在環R上的代數,M是A-雙模.如果R是一個含單位元的可交換環,A是作用在R上的一個代數,我們稱一個映射?從代數A到其雙模M是環線性的(R-線性),如果對于任意的a,b∈A和任意的r∈R,都有?(a+b)= ?(a)+?(b)和?(ra)=r?(a)(見文[1]).若對于任意的a∈A,當2a=0時有a=0,則稱A是2-非撓的.在本文中假設R,A,M都是2-非撓的.設?是一個從A到其雙模M的R-線性映射.如果對于任意的a,b∈A,都有

則稱?是一個廣義Jordan導子;特別地,如果?(I)=0,則稱?是一個Jordan導子.若對任意的a,b∈A,都有

則稱?為廣義導子;特別地,若?(I)=0,則稱?為導子.若對于任意的a∈A,存在s,t∈M使得?(a)=as+ta,則稱?是代數A到其雙模M上的一個廣義內導子;特別地,如果s=?t,則稱?為內導子.

由上述定義可知,(廣義)內導子一定是(廣義)導子,(廣義)導子一定是(廣義)Jordan導子,但反之一般不成立[24].那在哪些代數上成立呢?許多學者都已經研究過這個問題,比如Herstein[5]證明了每一個2-非撓的素環到其自身上的Jordan導子都是一個導子,并且在素環上不存在反導子.Breˇsar[6]證明了每個從2-非撓的半素環到其自身的Jordan導子是一個導子.張建華[7]證明了套代數上的每個Jordan導子是導子,因此是內導子.朱軍[8]證明了2-非撓的半素環到其自身上的廣義Jordan導子是一個廣義導子.還有其他的一些類似結果在文[9-15]中也可以找到.

本文主要就是研究了含單位元的三角代數

其中M是(A,B)-雙模,即是A的一一左模,B的一一右模,到其自身的廣義Jordan導子.文[3]證明了每個上三角矩陣到其代數雙模上的廣義Jordan導子是一個廣義導子與反導子的和,特別是到其自身的廣義反導子是平凡的,張建華等[16]證明了每個三角代數上的Jordan導子是一個導子.本文就是基于上面的研究結果,得出了一些結論.

2 三角代數上的廣義Jordan導子

在下面,我們還是假設A,B是作用在含單位元的環R上的代數,M是作用在R上的,且既是A-左模又是B-右模.按照習慣,我們還是把M看作是按照rξ=ξr=(rI)ξ=ξ(rI),?r∈R,?ξ∈M作用在R上的雙模,其中I是代數A,B的單位元.

命題1設?是一個從A到其雙模M的環線性映射,則下面各命題等價:

證明在文[3]中,作者已經證明了(1),(2),(3)是等價的,因此,在這里我們只需證明(1),(2),(3) 與(4)也是等價的即可.

[1]You Hong,Liu Shaowu,Zhang Guodong.Rank one preserving R-linear maps on spaces of self-adjoint operators on complex Hilbert space[J].Linear Algebra Appl.,2006,416:568-579.

[2]Benkoviˇc D.Jordan derivations and antiderivations on triangular matrices[J].Linear Algebra Appl.,2005, 397:235-244.

[3]Ma Fei,Ji Guoxing.Generalized Jordan derivation on triangular algebra[J].Linear and Multilinear Algebra, 2007,55:355-363.

[4]馬飛,王紅霞.廣義反導子[J].紡織高校基礎科學學報,2007,20:6-8.

[5]Herstein I N.Jordan derivations of prime rings[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1957,8:1104-1110.

[6]Bresar M.Jordan derivation on semiprime rings[J].J.algebra,1989,127:218-228.

[7]張建華.套代數上的Jordan導子[J].數學學報,1998,41:205-212.

[8]Zhu Jun,Xiong Changping.Generalized derivations on rings and mappings of P-preserving kernel into range on Von neumann algebras[J].Acta math.sinica,1998,41:795-800.

[9]Cui Jianlian,Hou Jingchuan,Li Bin.Linear preservers on upper triangular operator matrix algebras[J]. Linear Algebra Appl.,2001,336:29-50.

[10]Cusack J M.Jordan derivations on rings[J].Proc.Amer.Math.soc.,1975,53:321-324.

[11]Jing Wu,Lu Shijie.Generalized Jordan derivations on prime rings and standard operator algebras[J]. Taiwanese J.Math.,2003,7(4):605-613.

[12]Johnson B E.Symmetric amenability and the nonexistence of Lie and Jordan derivation[J].Math.Proc. Cambd.Philos.Soc.,1996,120:455-473.

[13]Kadison R V.Local derivations[J].J.algebra,1990,130:494-509.

[14]Sinclair A M.Jordan homomorphisms and derivations on semisiple Banach algebras[J].Proc.Amer.Math. Soc.,1970,24:209-214.

[15]Zhu Jun.All-derivation point of operator algebras[J].Linear Algebra Appl.,2007,427:1-5.

[16]Zhang Jianhua,Yu Weiyan.Jordan derivations of triangular algebras[J].Linear Algebra Appl.,2006,419: 251-255.

Generalized Jordan derivations of triangular algebras

MA Fei1,ZHU Xiao-long2,ZHAO Jian-tang1
(1.College of Mathematics and Information Science,Xianyang Normal University,Xianyang 712000,China; 2.College of Mathematics and Computer Science,Ningxia Normal University,Guyuan 756000,China)

In this paper,generalized Jordan derivations of triangular algebra are discussed.By the relation of generalized Jordan derivation and generalized inner derivation of triangular algebra,we show that every R-linear generalized Jordan derivation of triangular algebras over a commutative ring with identity is a generalized derivation.

generalized Jordan derivation,generalized inner derivation,generalized derivation,triangular algebra

O175.26

A

1008-5513(2009)03-0595-08

2008-04-11.

咸陽師范學院科研項目(07XSYK262).

馬飛(1981-),碩士,研究方向：算子代數與算子理論.

2000MSC:47L35,47B47