一個包含Z(n)和D(n)函數的方程及其它的正整數解

葛鍵

(西安財經學院統計學院,陜西西安 710061)

一個包含Z(n)和D(n)函數的方程及其它的正整數解

葛鍵

(西安財經學院統計學院,陜西西安 710061)

對于任意正整數n,著名的偽Smarandache函數Z(n)定義為最小的正整數m使得n|m(m+1)/2.而數論函數D(n)定義為最小的正整數m使得n|d(1)d(2)d(3)…d(m),其中d(n)為Dirichlet除數函數.本文的主要目的是利用初等方法研究一類包含偽Smarandache函數Z(n)和數論函數D(n)的方程2Z(n)=D(n)的可解性,并獲得了該方程的所有正整數解.

偽Smarandache函數Z(n);函數D(n);初等方法;方程;正整數解

1 引言及結論

例如：Z(1)=1,Z(2)=3,Z(3)=2,Z(4)=7,Z(5)=4,Z(6)=3,Z(7)=6,Z(8)= 15,Z(9)=8,Z(10)=4,Z(11)=10,Z(12)=8,Z(13)=12,Z(14)=7,Z(15)=5, Z(16)=31,Z(17)=16,Z(18)=8,Z(19)=18,….這一函數是美籍羅馬尼亞著名數論專家Smarandache教授中提出的[1],并建議人們研究它的性質.關于這一問題,許多學者進行了研究,獲得了不少有價值的研究結果[25].例如文[2]的作者中利用初等方法及其素數分布定理給出了漸近公式X

其中c1和c2為常數.這是兩個沒有解決的問題.

另一方面,在文[8]中,作者引入了一個新的數論函數D(n),它定義為最小的正整數m使得n|d(1)d(2)d(3)…d(m),其中d(n)為Dirichlet除數函數.即就是

例如：D(1)=1,D(2)=2,D(3)=4,D(4)=3,D(5)=24,D(6)=4,D(7)=26,D(8)=4, D(9)=9,D(10)=16,D(11)=210,D(12)=4,D(13)=212,D(14)=64,D(15)=16, D(16)=6,…,D(p)=2p?1,其中p為素數.關于D(n)的一些初等性質,文[7]以及文[8]都進行了研究,文[7]還利用解析方法給出了漸近公式

這里k為任意給定的正整數,ci(i=2,3,…,k)是可計算的常數.

最近,張文鵬教授建議我們研究一個包含數論函數D(n)及偽Smarandache函數Z(n)的方程2Z(n)=D(n)的可解性,并求出它的所有正整數解.關于這一問題,目前似乎沒有人進行研究,至少我們沒有看到過這方面的文章.本文利用初等方法研究了這一問題,并得到完全解決.具體地說也就是證明了下面的:

2 定理的證明

這節我們利用初等方法以及Z(n)和D(n)的性質直接給出定理的證明.關于Z(n)的性質,參閱文[34].關于D(n)的性質,只有文[8]中討論的比較仔細,可以參考.現在我們分以下幾種情況進行討論:

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2]Lou Yuanbing.On the pseudo the Smarandache function[J].Scientia Magna,2007,3(4):48-50.

[3]Le Maohua.Two functional equations[J].Smarandache notions journal,2004,14:180-182.

[4]張文鵬.關于Smarandache函數的兩個問題[J].西北大學學報,2008,173(2):173-176.

[5]Daivd Gorski.The Pseudo-Smarandache function[J].Smarandche Notions,2002,13:140-149.

[6]Hardy G H,Wright E M.An Introduction to the Theory of Numbers[M].Oxford:Oxford Univ.Press,1937.

[7]Shang Songye,Chen Guohui.An New Smarandache Multiplicative Function and Its Mean Value Formula, Research on Number Theory and Smarandache Notions(Collected Papers)[M].USA:Hexis,2009.

[8]Li Ling.An new Smarandache Multiplicative Function and Its Arithmetical Properties,Research on Number Theory and Smarandache Notions(Collected Papers)[M].USA:Hexis,2009.

[9]Apostol T M.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976.

An equation involving the functions Z(n)and D(n) and its all positive integer solutions

GE Jian
(School of Statistics,Xi’an University of Finance and Economics,Xi’an710061,China)

For any positive integer n,the famous pseudo Smarandache function Z(n)is defined as the smallest positive integer m such that n|m(m+1)/2.The number theory function D(n)is defined as the smallest positive integer m such that n divides d(1)d(2)…d(m),where d(n)is the Dirichlet divisor function.The main purpose of this paper is using the elementary method and the properties of the pseudo Smarandache function Z(n)and number theory function D(n)to study the solvability of the equation 2Z(n)=D(n),and obtain its all positive integer solutions.

the pseudo Smarandache function Z(n),function D(n),elementary method,equation,positive integer solutions

O156.4

A

1008-5513(2009)03-0622-03

2008-06-05.

國家自然科學基金(10671155),陜西省教育廳自然科學基金(08JK291).

葛鍵(1961-),副教授,研究方向：基礎數學.

2000MSC:11B83,58F08