新課程背景下學生矢量觀的有效建構

趙順法

摘要：本文針對高中學生在矢量學習中存在的問題，探討了在新課程學習中如何有效構建學生科學矢量觀的問題，并嘗試進行了分層遞進的系統性教學設計，對學生學習中與矢量相關的疑難問題進行了分析和歸納，最后對教科書如何進一步加強矢量教學提出了編寫建議。

關鍵詞：矢量；矢量教學；科學矢量觀；建構

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2009)6(S)-0027-5

1 問題提出

從初中進入高中，學生在物理學習中面臨著許多思維方式的轉變，其中物理量的矢量性和物理規律的矢量性是學生學習和應用物理知識解決問題中較難掌握的重要轉變之一。因此，在高中物理教學中“矢量”的教學成了眾多物理教師公認的重點和難點。

教學調查中發現，高中物理的“矢量概念”、“矢量運算法則”及“矢量方程的運用”都成了部分學生在高中物理學習中的障礙。這些障礙體現在：對矢量的方向及矢量正負意義的理解模糊；對矢量變化量的方向理解錯誤和矢量合成、分解法則的運用不靈活；對矢量方程的應用不規范及將矢量方程運算與標量方程運算相混淆等。

2 以物理概念和物理規律的學習為載體，構建學生科學的矢量觀

2.1 在“位移”的教學中，引入矢量的初步概念和一維矢量的圖解運算

在“位移”一節中，新課標教科書（人教版）通過從初位置到末位置的有向線段來表示物體(質點)的位置變化即位移，從而引出“像位移這樣既有大小又有方向的物理量叫做矢量”，得出了矢量的初步概念。

教科書指出矢量相加與標量相加遵從不同的法則，但此處并沒有明確告知，而是通過“思考與討論”欄目中一位同學在操場上先向北走、再向東走的實例讓學生總結出矢量相加的法則。這對剛接觸到矢量又沒有數學向量基礎的學生來說是有較大難度的。接著，教科書介紹了直線運動的位置和位移，指出直線運動物體在數軸上的末位置坐標x₂與初位置坐標x₁之差，即坐標的變化量(x=x₂-x₁)就表示物體的位移。教材對直線運動位移的介紹過于簡單，也沒有涉及到直線上矢量的運算，不利于學生深入理解矢量及一維矢量的運算知識。

在本節“位移”的教學中，學生除了要了解矢量的初步概念外，還應該通過直線運動的位置和位移的學習，讓學生了解一維矢量的運算知識，但不要求學生知道矢量相加的一般法則。這樣的設計既考慮到了學生已有的知識水平，也符合學生對矢量知識從簡單到復雜的認知過程，更為后面速度和加速度等概念的學習打下基礎。教學內容設計如下：

(1)直線上兩個矢量的相加方法：如圖1甲所示，兩個矢量x₁和x₂分別代表沿直線前進的兩段位移(AB和BC)，則從A指向C的有向線段x(圖1甲中虛線)就表示這兩個位移的矢量和，稱為合位移。

可見，兩個矢量相加時，將它們的頭尾連接起來，合矢量總是從第一個矢量的起點指向第二個矢量的終點。當兩矢量方向相反時，其合成規律相同(圖1乙所示)。

(2)一維坐標系中的位置表示法：在日常用語中，位置是指一個地方；但在物理學中，位置x可認為是一個矢量，它的尾端在坐標系的原點，它的箭頭端就是物體所處的這個地方。圖2甲所示的是A位置矢量，它反應了物體離開坐標原點的距離和方向，它的方向一般都包含在位置坐標的正負號里。

(3)一維坐標系中的位移表示法：物體在坐標軸上的末位置坐標x₂與初位置坐標x₁之差表示的是物體的位移，即位移等于末位置矢量減去初位置矢量(Δx=x₂-x₁)，如圖2乙所示。

(4)直線上兩個矢量的相減方法：從上面位移表示法中可以看出，兩個矢量相減時，需要將兩個矢量畫在同一起點上，矢量差就是從減矢量(x₁)的終點指向被減矢量(x₂)終點的有向線段。

上述矢量相減的方法由于從位移表示法中獲得，學生易于接受，從中獲得的矢量圖解方法也為后面其它矢量變化圖示方法的得出做了重要的方法鋪墊。

2.2 在“加速度”和“勻變速直線運動規律”的教學中，強化一維矢量變化量及矢量正負的理解

新課標教科書在研究“描述物體運動速度變化快慢”的特征時，在引入了加速度概念和得出其定義式之后，接著用速度變化矢量圖討論了加速度方向與速度方向的關系。教學中發現，由于該矢量圖對矢量知識的要求較高，前面又沒有矢量方法的鋪墊，認知上跨越較大，學生理解起來較為困難。

在有了上述的位移教學中矢量圖解方法的滲透之后，我們對加速度的矢量觀教學可以進行如下的教學設計：

(1)作出運動圖，描述質點在相等的時間間隔里運動間距的變化，并作出速度矢量，顯示其速度的變化情況，如圖3甲所示。

(2)取兩個相鄰的速度矢量，按上述位置矢量相減求位移的方法，類比得出速度矢量差的圖示方法，即可得到該時間間隔內的速度變化量。如圖3乙所示，在圖中標出了加速度矢量，加速度的方向即速度變化量的方向。

(3)圖3和圖4顯示的是物體做勻變速直線運動可能出現的四種不同情況，分析比較這四種情況后得出：速度矢量和加速度矢量方向相同時，物體處于加速狀態，速率增大，反之物體處于減速狀態，速率減少；當物體加速度指向正方向時，物體有正加速度，反之有負加速度，但加速度的符號并不能說明物體的速度是增大還是減少。

以上教學設計中用運動圖的方法直觀顯示了加速度矢量，又統一和加深了學生對矢量相減圖解方法的理解。由于有了前面矢量方法的鋪墊，教學實踐表明學生更容易接受。

在勻變速直線運動規律的學習中，學生對勻變速運動公式中矢量的正負號運算極易出錯。教學中要經常提醒學生，當運動問題的復雜性增加時，千萬要記住建立坐標系并規定正方向，保持所有符號的一致性。不管是位移、速度還是加速度，只要與所選擇的正方向相同，它們都是正的，反之就應該用負號標記。而且在整個解答過程中，都應與約定保持一致，以避免將符號搞混。

2.3 在“力的合成與分解”教學中，引入二維矢量的運算法則，建立更加嚴謹的矢量定義

在“力的合成”教學中，新教科書指出了合力產生的效果與分力的共同效果相同，并通過實驗探究得出了二力合成的平行四邊形定則。在教學中還應該讓學生明確以下內容：

(1)合力即幾個分力矢量的合矢量，力的合成即求幾個已知力矢量的合矢量。

(2)力的合成不但遵循平行四邊形定則，其實前面學過的矢量加法，對于不在同一直線上的矢量也是適用的。如圖5所示的兩個矢量，平行地移動其中一個力矢量，使兩個力矢量的首尾相接，合力就是由第一個矢量起點指向第二個矢量終點的矢量。其實這種把兩個矢量首尾相接從而求出合矢量的方法，叫做三角形定則，它與平行四邊形定則的實質是一樣的。

(3)在學習了矢量的一般運算法則后，可以給矢量下一個更加嚴謹的定義——既有大小又有方向，相加時遵從平行四邊形定則(或三角形定則)的物理量叫做矢量。

(4)力的分解是合成的逆運算，矢量的分解就是求分矢量。力的分解可以根據力的作用效果進行分解，但常用的方法是正交分解法：先建立坐標系，根據問題求解的方便選擇x軸和y軸的方向；再將力分別沿平行于x軸和y軸分解為兩個分量。

力的合成和分解的教學不但要從等效替代的物理思維角度來理解其物理意義，也要從矢量相加和矢量分解的數學向量運算角度來理解其數學處理方法，這樣不但能培養學生對物理知識的理解能力，還能訓練學生運用數學方法處理物理問題的能力。

2.4 在“牛頓運動定律的應用”中，強化二維矢量的運算

在“牛頓運動定律的應用”教學中，求物體的合力往往是解題的關鍵。這里涉及矢量的相加，通過選擇坐標系，將矢量分解為它們的x分量和y分量，再分別在x軸和y軸方向上相加或相減分矢量，將求合力轉化為矢量的代數加法運算，分別求出x軸和y軸上合矢量的大小和方向，從而將牛頓第二定律分別應用于x方向和y方向。

當物體在多個共點力作用下處于平衡狀態時，合力為零，即力的矢量之和為零。如圖6甲所示，一個物體在三個力作用下處于平衡狀態，分別平行移動矢量使它們首尾相接，可以看到這三個矢量組成了一個封閉的三角形(如圖6乙)，即它們的和為零。從圖中還可以看出，這三個力中的任意兩個力的合力與余下的那個力大小相等、方向相反。

2.5 在“曲線運動”的教學中，活化矢量的運用

在平拋運動的教學中，通過建立坐標系，將平面上的拋體運動問題分解為兩個相互聯系的直線上的運動問題，在兩個方向上分別應用牛頓運動定律和運動學的規律，再根據要求進行矢量的合成求解。如圖7顯示了小球在水平方向和豎直方向的速度分量，以及兩個分速度合成后拋體的總速度矢量。可以看出，小球在水平方向的勻速運動和豎直方向的勻加速運動的合成形成了拋體運動的拋物線軌跡。小球平拋運動的速度變化矢量圖如圖8所示，可見其速度增量即小球在豎直方向的速度分量。

物體在做勻速圓周運動時，物體相對于圓心的位置矢量r的方向不斷變化，在如圖9甲所示的矢量圖中，R₁與R₂相減得到的合矢量就是這段時間間隔內的位移。運動物體的平均速度為ΔrΔt，當時間間隔Δt趨于零時，物體的平均速度就是物體的線速度v=ΔrΔt，速度矢量與位置矢量互成直角。圖9乙顯示了物體在某一時間間隔前后的速度矢量v1和v2，同理可得兩個矢量之差為Δv(如圖9丙所示)。物體的加速度a=ΔvΔt，從圖示中可見其方向指向圓心，稱為向心加速度。比較發現，上述圖中的位置矢量三角形和速度矢量三角形是相似三角形(夾角相等)，進而可推導出向心加速度的大小計算公式。

2.6 在“動量守恒定律”和“動量定理”的教學中，深化矢量式的應用

新教科書將動量守恒定律和動量定理后移，放在選修3-5中學習，這降低了學生學習矢量方程的難度，同時也鞏固和深化了前面所學的矢量知識。動量的變化量是某一極短過程的末動量與初動量的矢量之差，是矢量。在處理一維問題時，動量的變化量可以用兩種方法得到：一是建立坐標系選取正方向，用正、負號表示動量和動量變化的方向；二是作矢量圖求解，從初動量終點指向末動量終點的有向線段就是動量的變化量。

動量守恒定律的表達式和動量定理的表達式實際上都是矢量式。用來處理一維問題時，要建立坐標系選定一個正方向，化一維矢量運算為代數運算。動量守恒定律公式中的運算符號均為加號，但速度本身的值卻可正、可負，選定一方向為正方向，相反的速度則為負值。

3 通過對與矢量相關問題的分析，建構學生科學的矢量觀

3.1 關于標量的說明

只有大小、沒有方向，求和時按照算術法則相加的物理量叫做標量。它可分為兩種：大小總為正值的標量，又稱為算術量(如：時間、質量、長度等)；帶有正負號的標量，又稱為雙向標量(如：功、電勢、溫度，電荷量等)，它是基于該物理量具有兩種相反的可能規定的，通常以正負號的形式來表示。

在物理學習中學生容易將某些雙向標量與矢量相混淆，我們可根據雙向標量中正負號的來歷，將其分為以下三種:

(1)基于該物理量的物理意義規定的相對性而得出的雙向標量，如：溫度、電量、電勢等。這種標量在運算時一般須帶正負號。

(2)基于某一公式得出的雙向標量，如：功(W＝Flcosα)、熱量(Q=cmΔT)、瞬時電流(i=i璵sinωt)等。這些量的正負號在運算時一定不能丟掉，否則會得出截然相反的結論。

(3)基于運算的方便，臨時規定某一量為雙向標量。如：磁通量，討論穿過某一面積的磁通量或磁通量的變化時，須規定某一側穿入該面的方向為正方向，則從另一側穿入該面的磁通量就為負值。

3.2 關于“+”、“-”號的物理意義

數學中表示大于零、小于零的“+”、“-”號，在物理學中往往賦予了許多新的意義，許多學生對物理中的正負號都存在模糊認識。通過上述對矢量和標量的分析，我們不妨將其分為幾類：

(1)研究矢量在同一直線上的加減運算，規定某一方向為正方向后，通過在物理量前加上“+”、“-”號從而將矢量轉化為代數量運算，“+”、“-”號僅表示該矢量的方向。

(2)由雙向標量帶來的正負號，其正負代表兩種相反的物理意義。有時代表兩個相反的方向，如：電流強度和磁通量等物理量的正負表示兩個相反的方向；有時表示物理量相對的大小，如重力勢能、電勢等物理量的正負，其正值總比負值大。

(3)表示物理量的增加還是減少，如：動能增量ΔE璳(ΔE璳=E﹌2-E﹌1)，正值表示該物理量在增加，負值表示該物理量在減少。

(4)公式中帶有的加減號，與某一物理量無關，如：ΔE璳=E﹌2-E﹌1中的減號。

4 對有效建構學生科學矢量觀的教科書的編寫建議

針對新課程教科書，為突破學生學習矢量的思維障礙，我們提出了一些編寫建議，僅供參考。

（1）加強對矢量表示符號的標記，給予學生強烈的識記情景。例如：可以對教科書中出現的矢量用黑體表示，使學生在應用物理規律時能及時注意到矢量和標量的區別，對矢量運算和矢量方程能做到眼到、手到、心到，這一做法也與數學教科書中向量的表示法相統一。

（2）教科書在編寫“位移”一節內容時，可以將坐標系中物體的位置看作是一個從坐標原點指向物體的矢量(與大學中普通物理相統一)。這樣處理后，物體的位移就是位置矢量的變化，從中得出矢量變化量的圖解，這為學習速度變化、動量變化等知識起到很好的鋪墊。

（3）在物理學習中解決涉及矢量的問題時，學生數學知識的掌握水平往往制約其物理解題能力的提高，所以可以在教科書適當的地方滲透相關的數學矢量運算知識和三角函數知識。雖然有些知識在數學中已經學過，但在物理教科書中插入相應的數學與物理學的鏈接知識，并有針對性地呈現在教科書正文的周邊，將更有助于提高學生運用數學知識處理物理問題的能力。例如：在《力的合成》一節中，可以插入勾股定律、余弦定律和正弦定律等數學知識，為求合力做好數學知識的鋪墊；在《力的分解》一節中，可以插入三角函數的定義知識，為力的分解做好數學知識的鏈接。

（4）可以在教科書附錄或其它欄目中較為簡單地介紹矢量和標量運算，包括正負號的意義。這些內容即便是結論性的，也會給予學生較為系統的指導，使其對教科書中出現的正負號有一個總體了解，這樣學生在解題過程中就會有的放矢，少出差錯，一遇到正負號就不再胡亂解題。

（5）教科書對涉及矢量問題或例題的分析求解中，多做一些用矢量圖示分析的示范，促使學生學會用矢量圖輔助直觀理解問題、分析問題、分析物理過程和發現物理規律，養成作矢量圖示分析的習慣。如：解運動學問題時作運動量的矢量圖示；解動力學問題時作運動量圖示和受力分析圖示；運用動量定理和動量守恒定律解題時作初、末動量及動量變化圖示等，提高學生用矢量分析解決物理問題的能力。

參考文獻：

［1］齊澤維茨(美)等著．物理原理與問題(上冊)．杭州：浙江教育出版社，2008．8

［2］新課程教科書．物理必修1．北京：人民教育出版社，2006．12

［3］新課程教科書．數學必修4．北京：人民教育出版社，2007．2

(欄目編輯鄧 磊)