簡諧運動周期公式的間接推導

張學文

摘要：機械振動是自然界中常見的運動形式，在研究各種各樣的機械振動前，首先要研究最簡單、最基本的簡諧運動。本文以簡諧運動的運動學特征和受力特征為基礎，從三個不同角度對簡諧運動周期公式的推導進行了探討。

關鍵詞：簡諧運動；周期公式；推導

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2009)6(S)-0075-3

振動是物體運動的基本形式之一，它在自然界中廣泛存在。鐘擺的擺動、水中浮標的上下浮動、擔物行走時扁擔下物體的顫動、樹梢在微風中的搖擺等等都是振動。在物理學中，對于一個復雜的運動可以看成是由若干個簡單運動合成的，這些簡單的運動是一些最基本的運動，掌握了這些基本運動的規律，其合運動規律就清楚了，這是物理學的一種研究方法。同樣的，我們在研究各種各樣的機械振動前，首先要研究最簡單、最基本的一種機械振動——簡諧運動。簡諧運動不但是一種周期性的運動，而且是一種變加速度的直線運動，因此，它的運動規律比較復雜。由于中學生缺少必要的數學知識，研究簡諧運動的規律就成為一個較為困難的問題。

根據高中教材對簡諧運動的描述，我們可以作出這樣的判斷：從運動學特征的角度看，物體對平衡位置的位移隨時間作余弦 (或正弦)變化的運動叫作簡諧運動，即x=Acos(ω?t+φ₀)。式中A是振幅，ω為角頻率，t為時間，φ₀稱作初相位或初相。從受力特征的角度看，物體在線性回復力作用下的運動叫做簡諧運動，即線性回復力F=-kx。式中k為比例系數（常數），x為以平衡位置為原點時物體的位移。有鑒于此，現以簡諧運動的運動學特征和受力特征為基礎，從三個不同的角度初步探討簡諧運動的周期公式。

1 根據最大加速度來推導周期公式

如圖1所示，一質量為m的質點在xy平面內以原點O為圓心做勻速圓周運動，該質點在x軸上的投影將以O為中心在x軸上振動，這個振動有什么特點呢？設t=0時，半徑跟x軸方向的夾角為φ₀，經時間t，半徑跟x軸方向夾角為θ，則θ=ω?t+φ₀。在任意時刻t，質點在x軸上的位移為x=r?cos(ω?t+φ₀)，顯然該質點在x軸上的投影（M點）是以O點為中心的簡諧運動。實驗也可以證明，一個以原點O為圓心作勻速圓周運動的質點m，它在x軸或y軸 上的投影是作簡諧運動。

這個事實告訴我們：勻速圓周運動與簡諧運動在運動學上有著深刻的內在聯系。因此，它提供了利用勻速圓周運動的知識來研究簡諧運動的依據，即任何一個簡諧運動必然存在一個與之相對應的勻速圓周運動，這個勻速圓周運動的圓周叫做與之相對應的簡諧運動的參考圓。參考圓的各量與簡諧運動的物理量有如下的一些對應關系：(1)參考圓的圓心為簡諧運動的平衡位置；(2)參考圓的半徑為簡諧運動的振幅A；(3)參考點m作勻速圓周運動的周期或頻率和其投影點M作簡諧運動的周期或頻率是相同的。

利用參考圓可以很方便地找到簡諧運動的最大加速度。設圓半徑為r，角速度為ω，則勻速圓周運動質點向心加速度的大小為ω2r，其在x軸上射影加速度的大小為a=ω2rcos(ω?t+φ₀)，質點在x軸上投影所作簡諧運動的加速度最大為ω2r。又由線性回復力的特征F=-kx和牛頓第二定律可得：簡諧運動加速度的大小為a=kx/m，簡諧運動加速度的最大值為kA/m。考慮到參考圓的半徑r等于簡諧運動的振幅A，參考點m作勻速圓周運動的周期和其投影點M作簡諧運動的周期是相同的。故：ω2=k/m，即有T=2πm/k。

由此可知，簡諧運動的周期與它們的振幅無關，而僅取決于振動系統兩個方面的性質：一是系統所受線性回復力的比例系數k，二是系統的慣性質量m。為了強調T是由系統性質所決定的，故稱T為系統的固有周期。

2 根據最大速度來推導周期公式

“應用數學處理物理問題的能力”是物理高考考試大綱中對考生的五種能力要求之一，它要求考生能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論，必要時能夠運用函數進行表達和分析。導數作為高中數學中增加的內容已在新教材中出現了兩年，而導數在高中物理中也有廣泛的運用，如高中物理中運用“微元法”就是千方百計繞過“導數”求解有關物理問題的典型例子。高中物理教學中導數的引入，使學生對一些物理知識有了更加深刻的理解。

現根據簡諧運動的運動學方程x=Asin(ωt+φ)將位移對時間求一次導數dx/dt，從而求得：v=dx/dt=Aωcos(ωt+φ)，即簡諧運動的速度變化規律為v=v璵cos(ωt+φ)。顯然，簡諧運動的最大速度為v璵，并且滿足v璵=Aω。對于簡諧運動的速度變化規律，我們也可以采用這樣的觀點研究：在時間間隔Δt比較小的情況下，平均速度能比較精確地描述物體運動的快慢程度，Δt越小，描述越精確。因此當Δt很小時，就可以認為Δx/Δt是物體在時刻t的瞬時速度。即v=ΔxΔt，取t2-t1=Δt，并利用正弦函數sinx=x(x極小時)和三角函數和差化積可知：

v=Asin(ωt2+φ )-Asin(ωt1+φ)t2-t1

=2Acos(ωt2/2+ωt1/2+φ)sin(ωt2/2-ωt1/2)Δt

=ω(t2-t1)Acos(ωt2/2+ωt1/2+φ)Δt

=Aωcos(ωt+φ)。

即有v=v璵cos(ωt+φ),簡諧運動的最大速度為v璵，并且滿足v璵=Aω。

以水平放置的彈簧振子為例，理論上可以證明：在彈簧振子振動的過程中，如果摩擦阻力造成的損耗可以忽略，則在彈簧振子運動的任意位置，系統的動能與勢能之和是定值，這與機械能守恒定律是相一致的。在振動的過程中，彈簧的彈性勢能：E璸=12kx2,

振子的動能：E璳=12mv2,

由機械能守恒可知：

機械能既等于最大彈性勢能：

E=12kA2，

也等于最大動能：E=12mv璵2，代入有：

12mv璵2=12kA2。

而物體的動能和物體的運動速率又有定量的聯系，如果將這兩部分知識組合起來，就有：

12kA2=12mv璵2=12mA2ω2，

化簡得：T=2πω=2πmk。

此即為彈簧振子簡諧運動周期的表達式。顯然，彈簧振子的周期由彈簧的勁度系數和振子的質量所決定，與振幅的大小無關，T為彈簧振子的固有周期。

以同樣的方式處理單擺。當單擺從最高點擺到最低位置的過程中，重力勢能轉化為動能。由機械能守恒可知：

最大動能：E璳=12mv2=mgl(1-cosα),

其中α為擺球擺動的最大角度。

利用三角形余弦定理，有：

cosα=2l2-A22l2，代入可得：

mgl（1-cosα)=mgl（1-2l2-A22l2）=mgA22l，

即單擺擺動時的最大動能為：

E璳=12mv璵2=mgA22l。

代人最大速率v璵=Aω，

有：mgA22l=12mA2ω2。

化簡即得：T=2πω=2πlg（擺角較小時，單擺的運動才為簡諧振動，才有v璵=Aω），此即為單擺簡諧運動的周期表達式。顯然，單擺做簡諧運動的周期跟擺長的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，跟振幅、擺球的質量無關。

3 根據回復力的比例系數來推導周期公式

簡諧振動是物體運動的基本形式之一，當物體離開平衡位置時，總要受到指向平衡位置的力，這個力稱為回復力。物體在離開平衡位置時必須受到回復力是一切振動的產生條件，但是回復力的規律不同，產生的振動規律也不同。

在彈性限度內，彈性力的大小遵從胡克定律F=kx，方向總是和位移方向相反，物體在彈性力作用下的振動是簡諧運動。有些力不是彈性力，但其變化規律也和彈性力相似，叫做準彈性力。在準彈性力的作用下，物體受到的回復力滿足同樣的條件時，物體也作簡諧運動，寫成數學表達式即：F=-kx。在這里要注意正確理解兩點:（1）做簡諧運動物體的位移是相對于平衡位置的，所以位移的方向總是由平衡位置指向物體，而回復力總是由物體指向平衡位置，故回復力的方向總是跟位移的方向相反，式中的負號表示了這種相反關系；（2）公式中的k表示回復力大小跟位移大小的比例系數，對于一個確定的簡諧運動，k是一個常量，對不同的簡諧運動，k有不同的值。

下面我們先做這樣的一個證明：圍繞地球做勻速圓周運動的人造地球衛星，其在直徑方向上的投影也是簡諧運動。

設地球、人造衛星的質量分別為M和m，人造衛星圍繞地球作勻速圓周運動的半徑為r，以地球球心位置為坐標原點，建立直角坐標系x-y?？紤]到地球球心和人造地球衛星間的距離為r，則萬有引力的大小為：F=GMmr₂,

其x方向分力的大小為：

GMmr₂cosθ=GMmr3?x。

由于人造地球衛星圍繞地球做勻速圓周運動，半徑r始終保持不變，則萬有引力F在x方向分力的大小GMmr3?x=kx。

其中k為常量，大小為：GMmr3。

結合F瓁和x的方向，故萬有引力F在x方向的分力滿足F瓁=-kx，符合簡諧運動所受回復力的特征。所以說，圍繞地球做勻速圓周運動的人造地球衛星，其在直徑方向上的投影運動，也是簡諧運動。

人造地球衛星在軌道上運行時，所需要的向心力是由萬有引力提供的，由

GMmr₂=mr(2πT)2，得：

T²=4π2?rGM。

將k=GMmr3代人即得：

T²=4π2?mk，化簡得:

T=2πmk。

由于人造地球衛星m做勻速圓周運動的周期等于其在直徑方向上所做分運動的周期，所以有T簡=T圓，即勻速圓周運動的人造地球衛星，其在直徑方向上的簡諧運動也滿足周期公式2πmk，其中k為回復力大小跟位移大小的比例系數，m為人造地球衛星的質量。

綜上所述，我們可以說，對于一般的簡諧運動，其周期均可表示為T=2πmk。也就是說，簡諧運動的周期與它們的振幅、速度等無關，而取決于振動系統兩個方面的性質：一是系統所受線性回復力的比例系數k，二是系統的慣性質量m。為了強調T是由系統性質所決定的，故稱T為系統的固有周期。當然，對于自然界中各種紛繁復雜的簡諧運動，其線性回復力的比例系數k往往具有不同的物理涵義。如對于彈簧振子，線性回復力的比例系數即為彈簧的勁度系數；對于單擺的簡諧運動，線性回復力的比例系數即為mg/L。

(欄目編輯張正嚴)