關于一個電磁作用力實例的討論
2009-08-07 06:56:24周軍張興華周侃
物理教學探討 2009年6期
周 軍 張興華 周 侃
摘要：本文運用狹義相對論分析討論了一個電磁作用力的實例，進而指出電磁力的作用與慣性系的選擇無關，即對一切慣性系都是等價的。
關鍵詞：電場力；磁場力；慣性系；力的協變性
中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2009)6(S)-0038-3
《物理教學》08年第1期“一題一議”欄目《到底哪一種解法正確》一文中給出下列問題：
題目 如圖1所示，空間靜置的兩根絕緣細直棒a、b，兩棒都帶有等量的負電荷，電荷均勻分布，則關于兩棒之間作用力情況描述正確的是
A.兩棒之間存在斥力
B.兩棒之間存在引力
C.兩棒之間無作用力
D.兩棒之間可能存在沿直棒方向的作用力
解1 選A。根據靜止電荷之間作用力的特點：同種電荷互相排斥，異種電荷互相吸引。由于兩根直棒都帶負電荷，所以兩者間存在靜電斥力。
解2 選B。假設有一輛卡車沿平行于細棒的方向以速度v向右勻速運動，在這里我們就選這輛卡車做參照系，那么兩根細棒都以速度v向左運動。兩根細棒上帶的負電荷都隨細棒以速度v向左運動，可以等效為兩平行同向直線電流，同向電流互相吸引，因此兩者之間存在引力。
勻速運動的卡車和靜止的物體都是慣性參考系，對于慣性系而言物體間的相互作用應是等價的，但本題為何不等價呢？
下面，我們根據狹義相對論的相關知識做一討論。
為了討論問題的方便，也為了便于說明問題，假設兩絕緣細棒距離足夠近，我們討論遠離棒兩端位置處的相互作用，這樣就可以近似用無限長均勻帶電直線周圍的場強公式E=λ2πε0d和無限長均勻載流直導線周圍的磁感應強度公式B=μ0I2πd分析計算兩棒上的相互作用力。此處的λ為單位長度電荷密度，d為兩細棒之間的距離，I為帶電細直棒相對坐標系運動而產生的電流。現在分別在相對帶電細棒靜止的k系和相對帶電細直棒勻速運動的k′系中考察兩棒之間的相互作用力（k′系相當于以勻速運動的卡車為參考系）。
假設k系和k′系的x軸和x′軸重合，y軸和y′軸平行，兩帶電細棒都在Oxy和Ox′y′平面內，如圖2所示，在k系中，兩直棒都靜止，所以帶電細棒只產生靜電場，其大小近似為（兩帶電細棒距離足夠近，且場點的位置不是太靠近棒的兩端，以下同）
E=λ2πε0d(1)
兩細棒單位長度上相互作用電場力大小為
F=qE=λ?1?E=λ22πε0d(2)
由于是同號電荷，所以電場力為排斥力。
在k′系中，帶電細棒沿x′軸反向以速度v運動，兩細棒之間不僅存在相互作用的電場力，而且還受到由于帶電直線運動產生的磁場作用力。
由于直棒沿縱向運動，所以長度就縮短，考慮到電荷具有相對論不變性，因此兩棒的線電荷密度增加，變為：
λ′=λ1-v2/c2(3)
所以其中任一帶電細棒在對方激發的電場強度為：
E′=λ′2πε0d
=λ2πε0d11-v2/c2(4)
此時，兩帶電細棒之間單位長度上相互作用的電場力大小為：
F′璭=λ′?1?E′
=λ22πε0d1(1-v2/c2)（5）
(仍為斥力）
帶電細棒沿x′軸反向運動引起了電流，電流強度大小為：
I=λ′v(6)
產生的磁場的磁感應強度大小為：
B′=μ0I2πd
=μ0λ′v2πd
=μ0λv2πd11-v2/c2(7)
因為真空中的光速c=1/ε0?μ0，
所以μ0=1ε0c2。
代入（7）式中得：
B′=λv2πε0d1/c21-v2/c2(8)
兩細棒單位長度上相互作用的磁場力大小為：
F′璵=B′Idldl
=λv1/c22πε0d1-v2/c2?λ′v
=λ2v22πε0dc21(1-v2/c2)(9)
磁場力表現為吸引力。
于是兩細棒單位長度上相互作用的合力為：
F′=F′璭-F′璵
=［λ22πε0d-λ2v22πε0dc2］1(1-v2/c2)
=λ22πε0d(1-v2c2)1(1-v2/c2)
=λ22πε0d。
合力為排斥力，數值與（2）式相同。
計算的結果與靜止時相同，這正是力的協變性的要求。解法2之所以出現錯誤，就在于忽視了相對論效應，或者說沒有考慮到力的協變性。雖然我們討論的是遠離棒兩端位置處的相互作用，但結論是能說明問題的。
上述分析也進一步印證了物理規律和相互作用與慣性參考系的選取無關，即在所有慣性系中物理規律（包含相互作用）都是等價的，或者說一切慣性系都是等價的。
參考文獻：
［1］游長海.到底哪一種解法正確？［J］.物理教學，2008，30（1）：19
［2］郭碩鴻.電動力學［M］.北京：高等教育出版社.1997（第二版），266-274.
(欄目編輯羅琬華)
