關于一道高考題的討論

桑芝芳

摘要：自感現(xiàn)象的暫態(tài)過程分析是高中物理教學的難點，本文利用數(shù)值解法定量分析討論一道關于自感現(xiàn)象的高考題（2008年江蘇高考卷第8題），使對題中通過各燈泡的電流變化規(guī)律有更深刻的理解。

關鍵詞：自感現(xiàn)象；自感電動勢；感應電流；數(shù)值求解

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2009)6(S)-0048-2

題目(2008年江蘇高考卷第8題) 如圖1所示的電路中，三個相同的燈泡a、b、c和電感L1、L2與直流電源連接，電感的電阻忽略不計，電鍵S從閉合狀態(tài)突然斷開時，下列判斷正確的有：

A.a先變亮，然后逐漸變暗

B.b先變亮，然后逐漸變暗

C.c先變亮，然后逐漸變暗

D.b、c都逐漸變暗

本題考查的是電路自感問題，由于自感現(xiàn)象暫態(tài)過程本身比較復雜，因而自感現(xiàn)象的暫態(tài)過程分析一直是高中物理教學中的一個難點。本題中電鍵S從閉合狀態(tài)突然斷開時，電感線圈L1、L2內磁通量發(fā)生變化，從而產(chǎn)生自感電動勢，使燈泡a、b、c有暫態(tài)電流。本題主要考查的是通過燈泡a、b、c的暫態(tài)電流變化情況。該題的答案是A、D，即a燈先變亮，然后逐漸變暗，b、c燈逐漸變暗。那么通過a、b、c燈泡的電流到底是如何變化的?是按什么規(guī)律變化的?下面定量討論通過a、b、c燈泡的電流變化規(guī)律。

如圖1，在開關S斷開前，由電路知識易知，有恒定電流通過a、b、c燈泡，且電流相等，即I璦=I璪=I璫=I0，通過電感L1、L2的電流為I㎜1=2I0，I㎜2=I0。開關S斷開瞬間，由于自感作用，電感L1、L2產(chǎn)生自感電動勢，原電路等效為如圖2所示的電路圖。電感L1、L2的自感電動勢E㎜1、E㎜2分別為E㎜1=-L1di㎜1猟t，E㎜2=-L2di㎜2猟t。

根據(jù)基爾霍夫定律，可列出相應的節(jié)點電流方程和回路電壓方程：

i璦=i璪+i璫，

E㎜1=i璪R璪+i璦R璦，

E㎜2=i璫R璫+i璪R璪。

由于a、b、c三個燈泡相同，所以R璦=R璪=R璫=R，而兩個電感的自感系數(shù)相等，即L1=L2=L，因而上述方程組可簡化為：

i璦=i璪+i璫，Ldi璦dt+(i璦+i璪)R=0， (1)Ldi璫dt+(i璫-i璪)R=0。

由圖2還可以看出，通過a燈泡的電流i璦與通過電感L1的電流i㎜1相等，通過c燈泡的電流i璫與通過電感L2的電流i㎜2相等，即i璦=i㎜1，i璫=i㎜2。由于在斷開前，通過a燈泡電流I璦=I0，通過電感L1的電流為I㎜1=2I0，因此在斷開瞬間，通過a燈泡的電流由I0突變到2I0，即斷開瞬間t=0時，i璦=2I0，i璫=I0(2)

由常微分方程組(1)式和初始條件(2)式可解得通過a、b、c燈泡的電流i璦、i璪、i璫隨時間的變化規(guī)律，i璦(t)=12I0e-3RtL(1+3e2RtL)，(3)

i璪(t)=I0e-3RtL，(4)

i璫(t)=12I0r-3RtL(-1+3e2RtL)。(5)

從(3)～(5)式可以看出，開關S斷開后，通過a燈泡的電流先由I0突變到2I0，再按兩個e指數(shù)組合的規(guī)律衰減；通過b燈泡的電流按e指數(shù)規(guī)律衰減;通過c燈泡的電流按兩個e指數(shù)組合的規(guī)律衰減。為了更直觀、形象地了解通過各燈泡電流的變化規(guī)律，我們作出相應的電流隨時間變化的曲線；取E=6V，L1=L2=L=30mH，R璦=R璪=R璫=6Ω，則

I0=ER=6V6Ω=1A。

圖3、圖4、圖5分別為通過a、b、c燈泡的電流隨時間的變化規(guī)律。

從圖中容易看出，a燈泡在開關S斷開瞬間，電流由I0突變到2I0，然后按圖3規(guī)律衰減，即a燈泡在開關S斷開瞬間先變亮，然后逐漸變暗至熄滅；b、c燈泡按圖4、圖5規(guī)律衰減，即b、c燈泡逐漸變暗。因而本題正確選項為A、D，從圖中還可以看出b燈較a、c燈先熄滅。

高中物理中有很多問題只需要作定性討論，不要求定量研究，但作為教師僅停留在定性層面上是不夠的，還要有“量”的意識，要盡量作定量分析，這樣才能真正理解物理量的變化規(guī)律。

(欄目編輯陳 潔)