在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透和應(yīng)用建模思想

李春月

數(shù)學(xué)建模是一種極為重要的數(shù)學(xué)思想方法,初中階段數(shù)學(xué)活動(dòng)就是數(shù)學(xué)模型的建立與處理。在教學(xué)中,滲透和應(yīng)用建模思想是每位數(shù)學(xué)教師的責(zé)任。

課程標(biāo)準(zhǔn)指出,“‘?dāng)?shù)與代數(shù)的內(nèi)容主要包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù),它們都是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界”,“體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí),提高運(yùn)用代數(shù)知識(shí)與方法解決問(wèn)題的能力”,“在教學(xué)中,應(yīng)注重讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型、估計(jì)、求解、驗(yàn)證解的正確性與合理性的過(guò)程……”。現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模,主張?jiān)跀?shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)思想的來(lái)龍去脈,揭示數(shù)學(xué)概念和公式的實(shí)際來(lái)源和應(yīng)用,恢復(fù)并暢通數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系,其依據(jù)就在這里。

那么,什么是數(shù)學(xué)模型呢?按照徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》一書(shū)中的提法,可以做這樣的解釋:所謂數(shù)學(xué)模型,是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系,采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。徐利治先生在該書(shū)中還對(duì)數(shù)學(xué)模型作了廣義解釋:凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程(代數(shù)方程、函數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程……)以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可稱(chēng)之為數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué),數(shù)與代數(shù)中有大量的規(guī)律、公式和算法。對(duì)于數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō),重要的是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)探求模式,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,而不是死記結(jié)論,死套公式和法則。在教學(xué)過(guò)程中,教師不是引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)單地從幾個(gè)問(wèn)題的例子作為靶子,直接得出概念、定律等,而是讓學(xué)生進(jìn)一步思考這幾個(gè)問(wèn)題是不是生活中的特例,大家的發(fā)現(xiàn)是不是具有普遍性,不妨把它作為一種猜想,要想驗(yàn)證這個(gè)猜想,還需要大量地舉例。學(xué)生經(jīng)歷猜想——舉例——驗(yàn)證——得出結(jié)論這樣的探索過(guò)程。只有經(jīng)過(guò)自己的探索,才能不僅“知其然”,而且“知其所以然”,才能真正獲得知識(shí),懂得公式的意義,掌握公式的應(yīng)用。學(xué)過(guò)的公式,即使忘記,自己還可以推出來(lái);而且通過(guò)探求若干公式的活動(dòng),可以提高探索能力,舉一反三,探求新的公式,也有利于探索和掌握數(shù)與代數(shù)的運(yùn)算和規(guī)律。讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí),觀察、分析、測(cè)量、討論、建模、解決實(shí)際問(wèn)題,使學(xué)生能夠透過(guò)紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象抽象、概括其本質(zhì),嘗試將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。建立一個(gè)問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的信息進(jìn)行分析處理,提出必要的假設(shè),并進(jìn)行數(shù)學(xué)的抽象與概括,從而建立起某種特定的數(shù)量關(guān)系,利用相關(guān)的知識(shí)使問(wèn)題得到解決,形成數(shù)學(xué)建模思想。

數(shù)學(xué)建模作為一種思想方法,首先它可以與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)相依隨,經(jīng)常滲透,逐漸升華。通過(guò)解讀信息,深刻分解實(shí)際問(wèn)題的背景,挖掘?qū)嶋H問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律,明確所求結(jié)論和對(duì)所求結(jié)論的限制條件。第二,簡(jiǎn)化信息。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特征和建模的目的,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要簡(jiǎn)化。抓住主要因素,拋棄次要因素,根據(jù)數(shù)量關(guān)系,聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)。第三,抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題(即模型一)。將已知條件與所求問(wèn)題聯(lián)系起來(lái),將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。

當(dāng)然,在基礎(chǔ)教學(xué)中,并不是用過(guò)多的有關(guān)數(shù)學(xué)建模的術(shù)語(yǔ),而主要的還是通過(guò)具體問(wèn)題的提出和解決過(guò)程讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的思想。

若按初中數(shù)學(xué)體系分,有依據(jù)相等關(guān)系抽象成的方程模型,以解決利息和稅率、百分率、工程及勞力調(diào)配等問(wèn)題;有依據(jù)平面幾何性質(zhì)抽象成的幾何模型,以解決零件加工、殘輪修復(fù)、工程選點(diǎn)、道路設(shè)計(jì)及飛輪、皮帶、拱橋等計(jì)算的問(wèn)題;對(duì)測(cè)高量距、航海、機(jī)翼、渠壩坡比、燕尾槽、屋架的計(jì)算等應(yīng)用問(wèn)題可建立三角模型予以解決;還可建立直角坐標(biāo)系模型,以解決投物、射擊、噴灌等物體運(yùn)動(dòng)的軌跡有某種規(guī)律,或者變量的變化具有某種函數(shù)關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題;在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)大潮中,人們更加注重對(duì)普遍存在的諸如造價(jià)最低,產(chǎn)出、利潤(rùn)最大,風(fēng)險(xiǎn)決策、股市、期貨、開(kāi)源節(jié)流、扭虧增盈、最優(yōu)化等問(wèn)題的研究,可透過(guò)實(shí)際問(wèn)題的背景,抓住本質(zhì),挖掘隱含的數(shù)量關(guān)系,抽象成函數(shù)的(區(qū)間)極值(目標(biāo))模型等。

學(xué)生通過(guò)建模求解,體會(huì)到科學(xué)、正確決策的意義和作用,也體會(huì)到正確的決策離不開(kāi)數(shù)學(xué)。在實(shí)際操作中,數(shù)學(xué)建模問(wèn)題難易應(yīng)適中,以創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)性、合理性、有效性等幾個(gè)方面作為標(biāo)準(zhǔn),千萬(wàn)不要搞一些脫離中學(xué)生實(shí)際的建模教學(xué),題目難度要適度,這樣才能更好地使學(xué)生有參與建模教學(xué)的積極性,保持建模教學(xué)的活動(dòng),真正使建模為我所用。

(作者單位:甘肅省天祝縣新華中學(xué))