探究性學習的“真”與“深”

黃愛華　任建波

名師檔案

黃愛華，中學高級教師，廣東省特級教師，深圳市享受政府特殊津貼專家。兩次代表廣東省參加全國課堂教學評比，獲一等獎。應邀在上海、江蘇、浙江、吉林、福建、西藏、新疆等全國24個省市的教學研討會上作觀摩課、示范課，并作專題講座100多場次，在國內小學數學界產生了一定影響。在《人民教育》、《中國教育報》、《小學數學教師》、《中小學數學教育》、《江蘇教育》等全國十多家省級以上報刊發表教學論文180多篇，榮獲上海教育、江蘇教育報刊社舉辦的全國教學論文評比一等獎，兩次獲全國小學數學嘗試教學理論研究論文評審一等獎。主持蘇教版國家課程標準小學數學實驗教科書多媒體教學資源的開發工作，為蘇教版國家課程標準數學實驗教科書的審稿人。河北教育出版社出版40萬字專著《黃愛華數學課堂教學藝術》，較系統地總結了他的課堂教學藝術。

一、課前談話

師：同學們是五年級幾班的?

生：五(1)班的。

師：你們學校五年級一共有多少個班?

生：有13個班。

師：有13個班，那么為什么會選你們班來和黃老師一起上這節課?

(生笑，聽課者笑)

[悟：教師拋出這樣一個不需回答的問題，讓學生感到非常自豪，使課堂氣氛立刻變得更加融洽，有利于接下來進行的課堂教學。]

二、基本鋪墊

(屏顯：平均數)

師：平均數，同學們都已經學過了。

(屏顯：平均身高)

師：要求幾個人的平均身高，你會收集哪些有關的數學信息?

生：要有每個人的身高和總人數。

師：知道每個人的身高和總人數，你會怎么求出這幾個人的平均身高?

生：將每個人的身高加起來，得到總身高，再用總身高除以總人數，就得到了平均身高。

(師板書：總身高÷總人數=平均身高)

[悟：這一節課內容的教學是在學生初步學會求平均數的基礎上進行的，通過這一節課的探究性學習，使得學生能夠進一步深刻認識一組數據的平均數與每一個數據、數據個數之間的相互聯系；培養學生通過數據進行分析、判斷和推理的綜合能力。在這里教師通過與學生對話、交流，板書出“總身高÷總人數=平均身高”，起到了和全班學生共同回憶、復習舊知的作用。將本節課所需的知識起點強烈地喚醒。]

三、激起沖突，為探究做準備

(屏顯：平均身高142厘米)

師：看到這個數據你能想到些什么?

生1：有幾個人的平均身高是142厘米。

生2：有的人身高高于142厘米，有的人低于142厘米，有的人可能正好就是142厘米。

[悟：給出一個平均值142厘米，讓學生來對其所包含的數學信息進行解讀，又一次引領全體學生對“平均數”的意義加以深刻領會和準確把握。]

(屏顯：男生平均身高142厘米，女生平均身高140厘米)

師：你又能想到些什么?

生：可以算出男、女生的平均身高是(142+140)÷2=141厘米。

(師未置可否，接著屏顯：環保小隊共有10同學，男生平均身高142厘米，女生平均身高140厘米，這個小隊的平均身高是多少厘米?)

師：能不能解決這個問題?

生：能!

師：請在自己本上動筆寫出來。

[悟：教師對“男、女生平均身高141厘米”這一結論未加評論，是要將學生推向探究學習的前臺。‘接著讓學生動筆寫出答案，則是為了進一步激起矛盾沖突，將全體學生推向矛盾的焦點，學生已經情不自禁地參與到這一探究的歷程中。]

師：好的，結果出來了。今天的任務已經完成了，同學們可以收拾一下回班級了。

(聽課者笑，學生個個一臉狐疑。)

師：那你對“141厘米”有懷疑嗎?

生1：我認為不對，可能是(142+140)÷10=28.2(厘米)。

師：噢，你認為這個小隊的平均身高是這么高。

(師蹲下身子，全班同學笑，聽課者笑。)

生2：因為男、女生各自的準確人數沒有告知。所以不能求出答案。

師：有沒有可能就是141厘米?

生3：有!

師：什么情況下男、女生的平均身高就是141厘米?

生3：當男、女生人數相等時，就是有5名男生、5名女生時。

[悟：雖然平均身高141厘米是其中的一種情況，教者卻顯然動了一番心思讓學生經歷了一個自我否定的過程。這一自我否定的過程也水到渠成地引出了下一個為探究建模型的環節。]

四、歸納整理，為探究建模型

師：題中并未說出就是5名男生和5名女生，還有可能有哪些情況?

生1：還有可能有6名男生，4名女生。

生2：還有可能有7名男生，3名女生。

生3：還有可能有8名男生，2名女生。

師：這些就是當男生比女生多的情況。我們不研究9名男生與1名女生的情況，因為題中已經說明是女生的平均身高了，同樣也不研究1名男生與9名女生的情況。

師：如果在黑板上將141厘米劃出一條線段，標為第①種情況。(師板書：141cm——①)你認為當男生比女生多的時候，他們的平均身高會怎么樣?

生：會超過141厘米。

師：不會超過多少厘米?

生：不會超過142厘米。

師：我們把高于141厘米而低于142厘米的標為第②種情況。還有沒有可能低于141厘米的呢?

生：有，當男生人數比女生人數少的時候。平均身高就會低于141厘米。

師：會低于140厘米嗎?

生：不會。

師：我們把高于140厘米而低于141厘米的標為第③種情況。

[悟：師生共同經過猜測、分析、畫圖，初步歸納出解答本題的3種情況。尤其是畫圖，讓學生對男、女人數差對平均數的影響有了更直觀的感受，但這還僅僅是猜想。有了對這3種猜想的架構，無形中為后續的探究學習理清了頭緒和脈絡，從整體上讓學生對這一問題的本質有了全局性的把握。]

師：這3種情況是結論嗎?

生：不是，是我們猜的。

師：對的，這只是我們的猜想。我們還要經過驗證，才能得出結論。那么如何對剛才的猜想進行驗證呢?

(屏顯：環保小隊共有10同學，男生平均身高142厘米，女生平均身高140厘米，這個小隊的平均身高是多少厘米?)

(屏顯下面的表格)

五、分組驗證，自主探究

(全班同學分成6個小組，師根據上述3種情況的劃分，結合各小組的意見，確定：第①小組研究男生5人、女生5人的情況；第②小組研究男生5人、女生5人的情況；第③小組研究男生6人、女生4人的情況；第④小組研究男生7人、女生3人的情況；第⑤小組研究男生4人、女生6人的情況；第⑥小組研究男生3人、女生7人的情況。)

(師指表格，對照表中各欄目逐一釋疑，和學生一起為下一步的自主探究掃清障礙，并參與個別小組的驗證過程，全班同學的整個驗證過程持續十分鐘。)

師：同學們的驗證已經結束了。請回顧一下你們小

組驗證的是第幾種情況?得出的結論是什么?再聽取一下別的小組的研究情況，整體思考一下。

[悟：這里的小組合作學習是有意義的、有準備的、有深度的，因為這樣的探究目標是明確的，思路是清晰的，學生的探究準備是充分的。而3種情況共由6個小組來驗證，每兩個小組驗證同一種情況，則又是教者的周密設計。從后續的學生研究匯報中，可以明顯地看出不同數據對于結論的相互印證。]

六、學生匯報，得出探究結論

師：請各小組派一名代表來匯報一下你們組的研究成果。

生1(第①小組)：大家好!我們組研究的是男生5人、女生5人的情況。我們猜想小隊的平均身高是141厘米，驗證是這樣的：(142×5+140x5)÷10=141(厘米)，我們的結論是：(男生平均身高×男生人數+女生平均身高×女生人數)÷總人數=小隊的平均身高。

師：好的，你們還給出了一個求小隊平均身高的公式。第②小組與你們研究的是同一種情況，請第②小組的代表也來匯報一下。

生2(第②小組)：我們組是用兩種計算方法進行驗證的，一是和第①組的方法相同的，(142×5+140x5)÷10=141(厘米)，二是直接用(142+140)÷2=141(厘米)。

師：你們認為當男、女生人數相等時，就可以直接用男、女生的平均身高加起來除以2。

生2：是的，我們組還得出了3個結論：①當男、女生人數相等時，可以直接用男、女生的平均身高加起來除以2；②(男生平均身高×男生人數+女生平均身高×女生人數)÷總人數=小隊的平均身高；③當男、女生人數不相等時，就不可以直接用男、女生的平均身高加起來除以2。

[悟：很顯然，第②小組同學對當男、女生人數相等時平均身高的理解更深刻、更全面，方法更簡潔。這里，課開始時教者的板書畫圖功不可沒。]

生3(第③小組)：我們小組研究的是男生6人、女生4人的情況。我們得出的結論有兩個：①是當男生人數比女生人數多時，小隊平均身高就比141厘米大，但比142厘米要小：②是當男生人數比女生人數多一點時，小隊平均身高就比141厘米多一點。

師：什么叫“多一點”呢?

[悟：這一問，問出了課堂的趣味，再次激活了學生的興奮點。“多一點”這一來自學生的“原生態”，表達很微妙，雖然很不準確，完全沒有了數學的嚴謹，卻能真切地感受到學生對這一問題認識的深刻程度和對由于男、女生數據個數變化而引起的平均數值變化之間關系的準確把握。]

生3：比如當男生7人與男生6人時，小隊的平均身高就比141厘米“多一點”。當男生6人、女生4人時，小隊的平均身高是(142×6+140x4)÷10=141.2(厘米)。

(全體學生笑，聽課者笑。分明，學生是理解的。)

師：好的，我們繼續聽第④小組的介紹。

生4(第④小組)：我們的驗證也證明了我們的猜想，當男生7人、女生3人時，小隊的平均身高超過了141厘米。(142×7+140×3)÷10=141.4(厘米)。

師：從第③組和第④組的結果看。還真的是男生越多，小隊的平均身高就越“多一點”。

生4：我們小組還有一個發現，就是每多一名男生，小隊的平均身高就多0.2厘米。因為1名男生占全體人數的1/10，1/10×(142-140)=0.2(厘米)。

師：真是一個偉大的發現!

生5(第⑤小組)：我們研究的是男生4人、女生6人的情況。我們組有兩個結論：①女生越多，男生越少，小隊的平均身高就越低，但還在140cm～141cm之間；②男、女生人數不同，小隊的平均身高就不同。

生6(第⑥小組)：我們研究的是男生3人、女生7人的情況。我們組也有兩個結論：①當女生比男生人數多時，小隊的平均身高總在140cm～141cm之間；②當女生越多時，小隊的平均身高就越接近140厘米。

師：現在我們把6個小組對3種情況的驗證情況放在一起梳理一下，會有什么結論?

[悟：為什么要啟發學生將3種情況放在一起進行梳理呢?不言而喻，每個組獨自的探究是獨立的、分割的且又并列的，不放在一起從問題全局的高度去考量，恐怕難免會出現諸多一葉障目的現象，最終將直接影響問題解決過程中判斷的精準性。]

生1：這個小隊的平均身高一定在140cm～142cm之間。

生2：男生每比女生多1人，小隊的平均身高就多0.2厘米。

生3：男、女生的人不同，小隊的平均身高就不同。

師：是的，男、女生人數的變化影響著這個小隊的平均身高。

[悟：“男、女生人數的變化影響著這個小隊的平均身高”這一貌似結論卻勝似結論的導出，將學生思維理性推向了一個新的高度，同時更明晰地表達出教者在傳授知識、培養技能的同時，為學生積聚經驗、錘煉思維做出了一次更富成效的引領。教者巧妙地引領學生經過猜測和驗證，呈現出“權數”變化引起平均數變化的趨勢和規律，幫助學生體驗到“權數”對平均數的影響。通過揭示問題的本質讓學生獲得知識，體會數學思維方法。]

七、根據結論，靈活解決實際問題

(屏顯：第一小學五(3)班有男生15人，平均體重是34千克，女生21人，平均體重是32千克。全班的平均體重是多少千克?)

師：你能猜測出這個班的平均體重在什么范圍嗎?

生：在32千克～34千克之間。

師：能進一步縮小這個范圍嗎?

生：在32～33千克之間。

師：為什么?

生：因為假設男、女生人數相等的話，五(3)班的平均體重應該是33千克。現在女生人數比男生多，且女生的平均體重比男生低，所以全班的平均體重應該是在32～33千克之間。

(屏顯：小明看一本故事書，前2天平均每天看25頁，后5天平均每天看23頁。小明這一星期平均每天看幾頁?)

師：你能快速地確定小明這一星期平均每天看的頁數所在的范圍嗎?

生：在23-24頁之間。

師：說出你的理由。

生：因為后5天平均每天看的比較少。

(屏顯：和平橋敬老院里有老奶奶11人，平均年齡80，5歲，有老爺爺12人，平均年齡73，6歲。全院老人的平均年齡是多少歲?)

師：請在作業本上解答出來。

展示：(80.5×11+73.6x12)÷(11+12)

=(885.5+883.2)÷23

=1768.7÷23

=76.9(歲)

(屏顯：巧克力糖水果糖

每千克60元每千克40元

混合成什錦糖，每千克是多少元?)

師：如果你是商店的經理，你打算怎么來定價?

生1：我想將什錦糖定價為每千克50元，只要保持巧克力糖與水果糖的重量相等就行了。

生2：我想將什錦糖定價為每千克比50元高一些，只要保證巧克力糖比水果糖的重量多一些就行了。

生3：我想將什錦糖定價為每千克比50元低一些，我想少放一些巧克力糖。

(屏顯：現有3種定價，請你分別說一說每種什錦糖

中哪一種糖更多一些?①每千克44元；②每千克50元；③每千克54元。)

師：第一種定價每千克44元，你認為哪一種糖更多一些?

生：肯定是水果糖，因為水果糖要更便宜一些。

師：第二種定價每千克50元，你認為哪一種糖更多一些?

生：一樣多，因為只有兩種一樣多時，什錦糖的定價才會是(60+40)÷2=50元。

師：第三種定價每千克54元。你認為哪一種糖更多一些?

生：那就是巧克力糖了，因為巧克力糖要更貴一些，所以會多一些。

[悟：如果說一節課整體環節的設計能反映出一位教者對教材、學情的準確把握和對教法的靈活運用的話，那么對一節數學課練習的精心設計則必能襯托出教者對教學所要達成的目標的深刻領會和對教學重、難點的有效突破。上述幾道練習題“螺旋”上升，不僅達到了對平均值估值準確性的檢測作用，還從相反的視角檢測了學生對平均值確定后兩項數據個數的合理配置的能力。]

八、思路整理，提煉數學思維

師：幸好課剛開始10分鐘的時候同學們沒有收拾東西回教室，否則我們就不會有這么多的發現了。

(生笑，聽課者笑。)

師：我們今天一起經歷了一個什么樣的過程?

生1：我們今天經歷了猜想與驗證的過程。

師：剛開始就猜想了嗎?先有了什么才會猜想的?

生2：我們是有了對平均身高141厘米的懷疑才開始猜測的。

師：是的，先有懷疑再開始猜想。那驗證過后我們又得到了什么呢?

生3：得到了一些我們的觀點。

師：很好!我們今天共同參與了一個由懷疑到猜想，由猜想到驗證，再由驗證得出結論的研究歷程。這也是任何科學研究的基本思路。

(師板書：懷疑→猜想→驗證→結論。)

[悟：“懷疑→猜想→驗證→結論”這一科學的探究歷程將是所有學生在本節課上最有價值的收獲，因為他們可以從這節課上想開去。]

[總悟：美國國家科學教育標準中對探究的定義是：“探究是多層面的活動，包括觀察；提出問題；通過瀏覽書籍和其他信息資源發現什么是已經知道的結論，制定調查研究計劃；根據實驗證據對已有的結論作出評價；用工具收集、分析、解釋數據；提出解答，解釋和預測；以及交流結果。探究要求確定假設，進行批判的和邏輯的思考，并且考慮其他可以替代的解釋。”而探究性學習，它就應是一種學習的理念、策略和方法，在教學過程中以問題為載體，創設一種類似科學研究的情境和途徑，讓學生通過自己收集、分析和處理信息來實際感受和體驗知識的生產過程，進而了解社會，學會學習，培養分析問題、解決問題的能力和創造能力。本節課上，教者智慧地體現著上述探究性學習的要義，給我們印象最深的，是整節課所流露出的“真”與“深”：①“真”，顧名思義，不是“演”課，不是“演”教學設計，更不是“演”教學內容。“真”在教者對學情的準確把握，對教學內容的合理整合和對教學環節的巧妙設計：“真”在學生學習起點的有效呼應，矛盾沖突的不斷形成以及驗證、探究的深入開展；“真”在師生雙方于一節課的時空內所新生成的教學資源，以及對其有效挖掘。“真”植根于學生對問題解決的真實需要，得益于教者對男、女生人數探究種類的引導、劃分，升華于學生真實的探究歷程，并于歷程中得出了結論、總結了方法。②“深”，即不是華而不實，而是一招一式皆有烙印。課開始十分鐘，問題解決之一“男、女生相等時平均身高即141厘米”這一結論即出，但此時的學生認識是膚淺的、斷裂的，因為缺乏聯系的、整體的思維去支撐，片面也就成了必然。而隨著對“男、女生人數到底對平均身高有著怎樣的影響”的猜測、驗證與探究的不斷推進，首先得以革新的是學生的思維，矛盾的形成、沖突的爆發慢慢隨著小組合作的探究性學習得以冷卻與平息，隨之而來的是“懷疑→猜想→驗證→結論”這一科學研究思路得以固化，無疑，這對學生的終身學習都是有益的。“真”導出了“深”，“深”擴展了“真”。沒有“真”，也談不上“深”；沒有“深”，也成就不了“真”。]