概率教學(xué)中關(guān)于“可能性”的思考

回建彬

在概率的教學(xué)實(shí)踐中,“可能性”的教學(xué)問題不斷出現(xiàn),如:究竟什么是“可能性”,為什么要學(xué)習(xí)“可能性”,以及用什么樣的方式來進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)中教師也常不知所措,實(shí)踐中就有了以下兩種現(xiàn)象。

【教學(xué)片斷1】“明天一定會(huì)下雨”是確定現(xiàn)象嗎?“可能性”學(xué)完后,教師在黑板上寫下“一定”“有可能”“不可能”,然后讓學(xué)生用這3個(gè)詞分別來說句話。有學(xué)生說:“太陽一定會(huì)從東方升起。”教師肯定了他的回答。又有學(xué)生說:“明天一定會(huì)下雨。”教師對(duì)此不置可否,又接著請(qǐng)其他學(xué)生繼續(xù)說。聽課的教師卻議論紛紛:“這件事情可能發(fā)生!”課后,執(zhí)教老師認(rèn)為:這件事情并沒有發(fā)生,所以不是確定的。

【教學(xué)片斷2】“為什么連續(xù)六次都摸到白球?”在一次“可能性”的教學(xué)中,教師在一個(gè)不透明的盒子中放入一個(gè)白球、一個(gè)黃球,然后要求學(xué)生任意摸一次,問結(jié)果會(huì)怎樣?學(xué)生回答:“可能摸到白球,也可能摸到黃球。”然后教師就讓學(xué)生摸球,來確認(rèn)是否是這樣的。結(jié)果,所有學(xué)生都摸到白球。怎么會(huì)這樣呢?就連教師也不知道該如何去面對(duì)這樣的問題。

一個(gè)事件、一個(gè)現(xiàn)象發(fā)生不發(fā)生,是研究可能性的基礎(chǔ)。例如,每天太陽都會(huì)從東方升起;在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱到100 ℃就會(huì)沸騰。總結(jié)以上現(xiàn)象,可以發(fā)現(xiàn)它們都有共同的特點(diǎn),那就是:服從特定的因果規(guī)律,從一定的條件出發(fā),一定可以推出某一結(jié)果,這一類現(xiàn)象就是“必然現(xiàn)象”。

雖然隨機(jī)現(xiàn)象具有不確定性,但是它也是具有規(guī)律的,正是因?yàn)樗倪@一屬性,才使得它與數(shù)學(xué)發(fā)生聯(lián)系。可是人們?cè)谄綍r(shí)零星的觀察中一般不容易發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象背后的規(guī)律。如本文開頭的現(xiàn)象二,具有概率初步知識(shí)的人都知道,在這樣的情況下,摸到白球和黃球的可能性是一樣的,但是這并不意味著第一次摸到的是黃球,第二次摸到的就一定是白球。因?yàn)檫@里的可能性一樣是針對(duì)某一次摸球而言的,即不管前面摸了多少次白球,下一次摸球時(shí),出現(xiàn)白球和黃球的可能性仍然是相等的,各為1/2。教師如清楚地認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn),就能理解出現(xiàn)連續(xù)摸到6次白球的情況也是有可能存在并且發(fā)生的,同時(shí)也能夠引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)此問題有較為清楚的認(rèn)識(shí)。針對(duì)現(xiàn)象二,以下是值得借鑒的做法。

當(dāng)學(xué)生連續(xù)6次摸到白球后,教師可以提問:1)怎么會(huì)連續(xù)6次摸到白球?(目的是引導(dǎo)學(xué)生感悟到每次摸球的結(jié)果在摸之前是無法確定的,連續(xù)多次摸到白球也有可能。)2)第7次會(huì)摸到什么顏色的球?(目的是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到前一次摸球的結(jié)果并不對(duì)后一次產(chǎn)生影響,初步感悟到隨機(jī)事件的發(fā)生和人的心理期望沒有任何關(guān)系。)

當(dāng)所有學(xué)生摸到白球后,教師可以提問:真得摸不到黃球嗎?(目的是使學(xué)生明確:盒子里有黃球,只要不停地摸下去,是一定能摸到黃球的。)

通過以上層層設(shè)問,教師幫助學(xué)生搭建一個(gè)思維的階梯,有助于引導(dǎo)學(xué)生深入理解“可能性”的含義,也就是促使學(xué)生進(jìn)一步理解事情發(fā)生的確定性與隨機(jī)性。

其實(shí),上述2種情況都是概率教學(xué)的難點(diǎn)。因此在概率的教學(xué)中,教師要注意采取多種形式幫助學(xué)生建立對(duì)事情的正確表象,并事先對(duì)學(xué)生的情況進(jìn)行了解,如知道學(xué)生可能對(duì)哪些問題容易出錯(cuò),不同的學(xué)生可能存在哪些不同的錯(cuò)誤,從而有針對(duì)性地采取一些措施,這樣教學(xué)的效果可能會(huì)更好。在教學(xué)工程中,筆者認(rèn)為,必須努力做到以下3個(gè)方面,才能使學(xué)生充分理解概率問題。

源于生活,適時(shí)聯(lián)系

注重偶然性與必然性之間的聯(lián)系必然性與偶然性雖然有很多差異,但是也非涇渭分明,其實(shí)是“你中有我,我中有你”。任何一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生都有其偶然性,但是也包含一定的必然性,這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)的試驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)出固有的規(guī)律,這就是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究目的就是從偶然性中探求必然性,從混沌中找有序。該學(xué)科本身也體現(xiàn)了偶然與必然的辯證關(guān)系。

注重聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際事實(shí)上,概率與統(tǒng)計(jì)對(duì)象來源于生活,其教學(xué)自然也不能脫離生活,因此教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生提供他們熟悉的問題情境,恰當(dāng)點(diǎn)撥,因勢(shì)利導(dǎo)。

注重與統(tǒng)計(jì)知識(shí)相聯(lián)系統(tǒng)計(jì)與概率是密切相關(guān)的內(nèi)容,通過統(tǒng)計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù),可以來理解事情發(fā)生的可能性大小。這樣,可能性的得出要借助于統(tǒng)計(jì)的方法。

事必躬親,注重實(shí)踐

要讓學(xué)生能夠理解事情發(fā)生的可能性,只有學(xué)生親自感受體驗(yàn),才能相信有些事情是可能發(fā)生的,有些事情是不可能發(fā)生的,因此在“可能性”的教學(xué)中要注重學(xué)生的參與和實(shí)踐。

嚴(yán)謹(jǐn)教學(xué),歸納推理

表面看上去,概率的有關(guān)知識(shí)缺乏通常意義下數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,似乎無推理可言,但實(shí)際上概率中也是有推理的。在教學(xué)中可以通過讓學(xué)生猜一猜等活動(dòng),發(fā)展學(xué)生的合情推理能力,也可以通過看一看,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

(作者單位:河北省唐山市豐潤區(qū)豐潤鎮(zhèn)中學(xué))