淺談設計數學問題，培養學生主動探索的學習方式

匡唐松

學生的數學學習活動不應該只限于接受、記憶、模仿和練習。高中數學課程倡導學生開展自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。新的高中數學課程的最大的特點:提出了很多思考、探究性的問題,沒有例題示范的探究性練習。希望學生通過自學課本,上網查找資料和互相討論,依靠自己的努力去嘗試解決問題。這樣從小培養他們試一試的精神,長此以往,逐步形成一種勇于探索的精神。他們長大以后,對于不懂的事物,不會做的工作都能有“讓我試一試”的精神,這種積極主動、勇于嘗試的探索精神是極其可貴的,是新時代人才必須具備的重要素質。有人把世界上320名諾貝爾獎獲得者所具有共同的內在素質歸納為6個方面:(1)高瞻遠矚,善于把握時機;(2)選準目標,堅持不懈;(3)勤奮努力,注重實踐;(4)富于幻想,大膽探索;(5)排除干擾,勇往直前;(6)積極主動,興趣濃厚。從這6個方面看,積極主動,大膽探索,勇往直前是極為重要的。

學習、掌握并能靈活應用數學的途徑有千萬條,每個人都可以有與眾不同的數學學習方法,做習題,用數學解決各種問題是必需的;理解概念,學會證明,領會思想,掌握方法也是必需的。還要充分發揮問題的作用,問題使我們的學習更主動,更生動,更富探索性。要學會提問,善于提問,“凡事問個為什么”,用自己的問題和別人的問題帶動自己的學習。俗話說:“看過問題三百個,不會解題也會問”。教學要促進學生思維發展,就應當培養學生的問題意識,使學生產生問題意識并能自主解決問題的教學才是成功的教學。因此,教師精心設計問題,使設計出的問題具有挑戰性,思考量大,創造性空間廣闊。可以大大激發學生的創造欲望,提高學生的創新意識和創新能力。下面就結合自己的教學實踐談談問題的設計。

一、問題的可行性

在設計數學問題時,教師必須研究學生的思維發展規律和知識水平,因為學生的認識系統是不完全相同的,因此教師在進行問題設計時,必須根據每個學生的“最近發展區”進行設計。所謂最近發展區就是在原有認知結構的基礎上最易被同化和順應的認識結構,也就是我們常說的“跳一跳,摘桃子”。問題太難,學生沒法入手,只會使學生對學習產生厭倦和畏難情緒。因此,教師要根據學生的年齡特點、學生已有的認知結構及學生的生活實際,提出既有一定難度又是學生力所能及的問題,而且這些問題既能有效的激發學生的求知欲望,又能使學生積極主動地尋求解決問題的策略,并通過一定的努力或小組討論、研究、最后達到問題解決。例如:我在講完例題“在正方形中隨機撒一大把豆子,計算落在正方形內切圓中的豆子數與落在正方形的豆子數之比并以此估計圓周率的值”。接著提出問題:我國數學家劉徽采用了以直代曲,無限趨近,“內外夾逼”的思想,創立了“割圓術”,得出圓周率的近似值π=3.14;南北朝時期的數學家祖沖之用“割圓術”求得π的范圍在3.1415926到3.1415927之間。今天的分組實踐作業是用豆子和用計算機模擬實驗的方法估算圓周率的值,若精確度達不到小數點后兩位的,要找出失敗的原因,并想想如何改進試驗,找出提高精確度的方法。試驗結果:大多數組的同學用豆子很難得出π=3.14。只通過實驗得出的結論是:將正方形邊長適當增長,撒的豆子適當增多,得出π的值由2.4上升到3.0。有一組同學,把豆子換成玻璃珠,又把玻璃珠由大顆換成小顆,最后換成小鋼珠,發現π的近似值精確度不斷提高,有一組同學不是隨機撒,而是把小鋼珠均勻布滿整個方框,適當增加邊長,π的近似值精確度達到小數點后三位。有的組利用計算機模擬實驗,發現隨著實驗次數的增加,得到的π的近似值的精確度會越來越高,很容易精確到小數點后七位。我充分肯定了同學們在實驗中體現的主動性、探究性的精神。接著提問:為什么后兩位同學的精確度如此之高,兩者之間有必然的聯系嗎?為什么?請大家分組再討論。有的同學回答說:因為每顆小鋼珠投影的面積為s,圓的面積就可以近似地看作ns,同樣正方形的面積近似地看作ms。這樣,若正方形的邊長為2a,則“圓的面積:正方形面積=π·a2:4a2=π:4≈ns:ms=n:m”。當ns無限趨于圓的面積,ms無限趨于正方形的面積,精確度就越高。面積之比轉換成點數之比,點數越多,面積就越接近,精確度就越高。這極大地調動了學生的積極性,他們通過動腦、動手,在自主探究與合作交流的過程中,掌握了數學知識,領會了數學方

法,獲得了數學活動的體驗,這是傳統的練習作業所達不到的效果。

二、問題的層次性

所謂層次性指的是問題里面各種各樣的小問題,有難、中、易,適合不同層面的學生需要。人們對于數學問題的認識,是一個由淺入深、由易到難的漸進過程。因此,在數學問題的設計中,就要遵循這種原則,問題的設置應由小到大,由簡到繁,由已知到未知,層層推進,步步深入,使學生在問題的探究中不斷獲得成功,逐步樹立起學數學的自信心,培養其勇于探索、勇于攀登的精神。例:高中書本有一道習題:“從1、2、3……n這n個數中任取兩個,求兩數之積的數學期望。”我把這道題設計為:1.從1、2、3中任取兩個數,求這兩數之積的數學期望;2.拋擲兩顆均勻的骰子,出現正面朝上的點數之積的數學期望;3.從a、b、c中任取兩個,求兩數之積的數學期望;4.推出書本習題。當學生通過探索發現歸納由1、2、3到1、2、3、4、5、6、推廣到1、2、3……n遇到麻煩,轉而由ab+bc+ac=1/2[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]方向上思考,探索出x1x2+x1x3+…+xixj+…+xn-1xn=1/2[(x1+x2+…+xn)2-(x12+x22+…+xn2)]這樣由淺入深,由易到難,不僅可以把學生的探究活動步步引向深入,而且還可以培養學生學習數學的興趣。

三、問題的應用性

20世紀下半葉以來,數學應用的巨大發展是數學顯著特征之一。當今知識經濟時代,數學正從幕后走向臺前,數學和計算機技術的結合使得數學能夠在許多方面直接為社會創造價值。高中數學課程力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用,數學與日常生活及其他學科的聯系。例如:三國時期,諸葛亮運用氣象觀測經驗,演出了一場“草船借箭”的好戲,令世人驚嘆。統計預報以概率論為基礎,應用于天氣預報。利用恩格爾系數了解周圍人生活質量的高低,我市城鎮居民生活質量的變化。利用函數圖象統計考試的班平均分與自己成績的變化情況,了解自己在班級中的位置。投資方案的選擇,在自然條件下,細胞分裂,人口增長,生物體內碳14的衰減等變化規律,借助計算機求方程的近似解。引導學生應用數學知識解決實際問題。

經歷探索解決問題的過程,體會數學的應用價值,幫助學生認識到現實生活中蘊涵著大量的數學信息,面對實際問題,能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。

作者單位:中山市楊仙逸中學