淺談數(shù)學(xué)思想

曾憲江

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)具有自身的特點(diǎn),它的系統(tǒng)性不如數(shù)學(xué)知識(shí)那樣嚴(yán)密,但進(jìn)行系統(tǒng)的研究,掌握它們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)還是必要的。一般認(rèn)為,數(shù)學(xué)思想可系統(tǒng)分為如下幾種:

(1)把數(shù)看成符號(hào)的思想方法。數(shù)學(xué)發(fā)展到今天,已成為一個(gè)符號(hào)化的世界。英國著名數(shù)學(xué)家羅素說過:“什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯。”數(shù)學(xué)離不開符號(hào),數(shù)學(xué)處處要用到符號(hào)。數(shù)學(xué)符號(hào)除了用來表述外,它也有助于思維的發(fā)展。如果說數(shù)學(xué)是思維的體操,那么,數(shù)學(xué)符號(hào)的組合譜成了“體操進(jìn)行曲”。現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材十分注意符號(hào)化思想的滲透。人教版教材從一年級(jí)就開始用“□”或“()”代替變量x,讓學(xué)生在其中填數(shù)。例如:1+2=□,6+()=8;再如:學(xué)校有7個(gè)球,又買來4個(gè),現(xiàn)在有多少個(gè)?要學(xué)生填出□○□=□(個(gè))。符號(hào)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中隨處可見,教師要有意識(shí)地在教學(xué)中進(jìn)行滲透。

(2)進(jìn)行分類類比的思想方法。“分類”就是把具有相同屬性的事物歸納在一起。教學(xué)中通過實(shí)物演示,使學(xué)生認(rèn)識(shí)分類的意義,體會(huì)分類思想的實(shí)質(zhì)。例如教學(xué)用“7、8、9”三個(gè)數(shù)字卡片可以排成幾個(gè)三位數(shù),讓學(xué)生做一做,排一排。有的學(xué)生很快排出來了,但有些學(xué)生卻排不完整。這時(shí)教師要指導(dǎo)學(xué)生分類討論。首先確定百位上的數(shù)字是7時(shí),有哪幾個(gè)三位數(shù)?(789、798);百位上的數(shù)字是8時(shí),有哪幾個(gè)三位數(shù)?(879、897);百位上的數(shù)字是9時(shí),有哪幾個(gè)三位數(shù)?(987、978)可見以百位上的數(shù)字為準(zhǔn),進(jìn)行分類,能有效糾正學(xué)生的無序性甚至盲目拼湊的毛病,有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。數(shù)學(xué)上的類比思想方法是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性,有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想。它能夠解決一些表面上看似復(fù)雜困難的問題。如把加法交換律a+b=b+a的學(xué)習(xí)遷移到乘法交換律a×b=b×a的學(xué)習(xí)上去。

(3)運(yùn)用化歸與歸納的思想方法。化歸,是指將有待解決或未解決的問題,通過轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)為一類放入已經(jīng)解決或較易解決的問題中去,以求得解決。如:小數(shù)除法通過“商不變性質(zhì)”劃歸為除數(shù)是整數(shù)的除法;異分母分?jǐn)?shù)加減法劃歸為同分母分?jǐn)?shù)加減法;異分母分?jǐn)?shù)比較大小通過“通分”劃歸為同分母分?jǐn)?shù)比較大小等。在教學(xué)平面圖形求積公式中,就以化歸思想、轉(zhuǎn)化思想等為理論武器,實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積計(jì)算公式間的“同化”,從而構(gòu)建和完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在研究一般性問題之前,先研究幾個(gè)簡(jiǎn)單的、個(gè)別的、特殊的情況,從而歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì),這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。如:在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí),先由直角三角形、等邊三角形算出其內(nèi)角和度數(shù),再用猜測(cè)、操作、驗(yàn)證等方法推導(dǎo)一般三角形的內(nèi)角和,最后歸納得出所有三角形的內(nèi)角和為180度。這就是運(yùn)用歸納的思想方法。

(4)教給學(xué)生集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系的思想方法。把一組對(duì)象放在一起,作為討論的范圍,這是人類早期就有的思想方法。繼而把一定程度抽象的事物作為思維對(duì)象,例如教學(xué)長(zhǎng)方形、正方形之后,使學(xué)生明確正方形是長(zhǎng)和寬相等的長(zhǎng)方形,即正方形是一種特殊的長(zhǎng)方形。為加深學(xué)生對(duì)這集合圖的理解,可舉例說明:我們?nèi)嗤瑢W(xué)好比一個(gè)大圓,第一小組的同學(xué)是全班的一小部分,也就是里面的一個(gè)小圈。要讓學(xué)生真正理解集合圖的含義,并學(xué)會(huì)應(yīng)用。對(duì)應(yīng)是人的思維對(duì)兩個(gè)集合間問題聯(lián)系的把握,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)最基本的概念。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要利用虛線、實(shí)線、箭頭、計(jì)數(shù)器等圖形將元素與元素、實(shí)物與實(shí)物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來,在教學(xué)中滲透了對(duì)應(yīng)思想。

如人教版一年級(jí)上冊(cè)教材中,分別將小兔和磚頭、小豬和木頭、小白兔和蘿卜、蘋果和梨一一對(duì)應(yīng)后,進(jìn)行多少的比較學(xué)習(xí),向?qū)W生滲透了事物間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,為學(xué)生解決問題提供了思想方法。

總之,數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和升華,是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。教師只有給學(xué)生一定的思想方法,學(xué)生才能在學(xué)習(xí)中不斷地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。