例析“微元法”在高中物理中的應用

陳小磊

摘要:“微元法”是物理學中常用的一種方法,本文舉例分析在中學物理學習中如何應用“微元法”解決物理問題。

關鍵詞:微元法;高中物理;應用

中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A文章編號:1003-6148(2009)11(S)-0071-3

微元法是物理學中分析問題和解決問題常用的一種方法,其基本思路是將復雜的物理過程分成若干個微小的“元過程”,然后對“元過程”進行分析,找出其物理規律,再將此規律通過一定的數學方法或物理思想運用到整個過程,進而解決問題。微元法在解決許多復雜物理問題中發揮了很大的作用,下面通過幾個例子說明其具體的運用。

1 微元法求解位移

例題1 如圖1所示,一水平放置的光滑平行導軌上放一質量為m的金屬桿,導軌間距為L,導軌的一段連接一阻值為R的電阻,其他電阻不計,磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面,現給金屬桿一水平向右的初速度v0,然后

任其運動,導軌足夠長,試求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少?

解析 由受力分析(圖2)可知,ab桿向右做加速度減小的減速運動,取運動過程中極短時間Δt進行分析,由于時間極短,可以視為勻速運動,速度設為v,發生一段極小的位移Δx,則ab桿上電流

I=εR=BLvR

桿受到的安培力

F安=BIL=B2L2vR

可見F安為恒力,選向右為正方向,在Δt時間內,F安的沖量為

ΔI=-F安Δt=-B2L2vRΔt

由于Δx=vΔt,所以ΔI=-B2L2RΔx,得

Δx= -RB2L2ΔI

金屬桿在導軌上向右移動的最大距離就是對所有Δx求和,即

x=ΣΔx=Σ(-RB2L2ΔI)=-RB2L2ΣΔI

ΣΔI是安培力的總沖量,而對桿用動量定理可得總沖量

ΣΔI=0-mv0

∴x=RB2L2mv0

點評 這是一道典型的變加速運動求位移的問題,對整個過程來講直接求解比較困難,但將運動無限微分后,對于時間極短的“元過程”,桿可以視為勻速運動,而安培力則為恒力,這就使問題得以簡化,相關公式都可直接使用,再利用數學求和及沖量、動量定理即可推得結果。

2 微元法求解力

例題2 如圖3所示,一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上,球面上放置一光滑均勻鐵鏈,其A端固定在球面的頂點,B端恰與桌面不接觸,鐵鏈單位長度的質量為ρ,試求鐵鏈A端受的拉力T。

解析 取鐵鏈上極短的一小段ΔL作為研究對象,作出受力分析圖(圖4),設該小段所在半徑OC與OB成θ角且受到的沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大ΔTθ,根據受力平衡,在切線方向上有

Tθ+ΔTθ=Tθ+ΔGcosθ

ΔTθ=ΔGcosθ=ρΔLgcosθ

整條鐵鏈對A端的拉力是各小段ΔTθ之和,即

T=ΣΔTθ=Σ(ρΔLgcosθ)=ρgΣΔLcosθ

分析ΔLcosθ的意義(圖5),由于ΔL所對圓心角Δθ很小,所以弧CD可視為一小段切線,CD⊥OC,∠DCE=θ,可見ΔLcosθ表示ΔL在豎直方向上的投影ΔR,因此

ΣΔLcosθ=R

∴T=ρgR。

點評 本題中鐵鏈不可視為質點,無法直接受力分析求解,但仔細觀察發現鐵鏈內部的拉力不斷變化,可從此拉力入手分析,將鐵鏈分割成若干小段,每小段可看成質點,并進行受力分析,根據平衡條件可求得每小段受到相鄰小段拉力之差(ΔTθ),再利用數學求和即可推得整條鐵鏈在A端的拉力情況。

3 微元法求解速度

例題3 一個半徑為R的環(環心為O2)立在水平面上,另一個同樣大小的環(環心為O1)以速度v從前一環的旁邊經過。試求當兩環環心相距為d(2R>d>0)時,兩環上部的交點A的運動速度(兩環均很薄,可認為兩環是在同一平面內,第二個環是緊貼著第一個環擦過去的)。

解析 設兩環心相距為d時如圖中的實線所示(圖6),自此時刻起,經歷一段極短的時間Δt,環O1運動到虛線位置(圖7),交點A運動到C點(圖中的A、C、D三點是相距很近的,為使相對位置清楚,圖中的位移是夸大了的),弧AC、DC可以近似地看成是弦AC、DC重合的,動環的位移可用AD表示,交點的位移可用弦AC表示,其大小分別為

AD=vΔt ,AC=v瑼Δt

所以v瑼=ACADv

其中v瑼為交點的移動速度。又以α表示等腰△AO1O2的底角,且視AC為一小段切線,則:

∠CAD=π2-∠DAO2=π2-α

在等腰△ADC中,有

AD=2ACcos∠CAD

ACAD=12cos∠CAD=12sinα

其中sinα=R2-(d2)2R

∴v瑼=v2sinα=Rv4R2-d2

點評 題目中從整體來看A點做變速圓周運動,速度與環速無直觀聯系,但取一段微小的“元過程”進行分析,可作出極短時間內A點運動的軌跡,并可與圓環的位移對比分析,利用“元過程”時間極短的特性,將圓弧簡化為直線和切線,避開了問題的復雜點,再加上數學推導,找出兩速度的關系迎刃而解。

4 微元法求解時間

例題4 A、B、C三個芭蕾舞演員同時從邊長為L的三角形頂點A、B、C出發,以相同的速率V運動,運動中始終保持A朝著B、B朝著C、C朝著A。試問經多長時間三人相聚?

解析 從三個演員剛剛出發時開始,取極短的時間Δt,每個演員的運動近似為直線運動,則第一個Δt內A、B、C的運動方向和位移,以及第一個Δt末三者的位置A1、B1、C1如圖8所示。這樣可依次作出以后每經Δt,以三個演員為頂點組成的三角形A2B2C2,A3B3C3,…。由速率V相同可得,三個演員都作等速率曲線運動,而且任何時刻三個演員的位置都分別在一個正三角形的三個頂點上,但這正三角形的邊長不斷縮小,最終三人于△ABC的中心相聚。圖中

〢A1=〣B1=VΔt

從B1作B1D1⊥AB于D1,則

〣D1=〣B1猚os60°=12VΔt

〢1D1=L-〢A1-〣D1

=L-VΔt-12VΔt

=L-32VΔt

因為在Rt△B1A1D1中∠B1A1D1很小,可以認為

〢1B1=〢1D1=L-32VΔt

可見,經過Δt,A、B間距離縮小了

ΔL=〢B-〢1B1=32VΔt

且每一個Δt內情況相同

Δt=23VΔL

三人一起相聚于三角形ABC的中心所需時間即為所有Δt之和,即

T=ΣΔt=Σ23VΔL=23VΣΔL=2L3V

點評 對于不規則的變速曲線運動,沒有直接求解時間等物理量的公式,但本題中三演員的運動通過微元分析后很快發現物理規律,將此規律應用到整個過程即可很容易地求出總時間。

以上列舉了微元法的幾個常見的應用,除此之外,其他許多物理問題都可以運用此法求解,但不論什么題型,微元法始終是從事物的微小部分入手分析,達到解決事物整體問題的方法,是從部分到整體的思維方式。在一定的條件下,通過微元法可以化曲為直、化變為恒、化動為靜,將變化的、運動的對象轉化為不變的、靜止的元對象,以便進行分析和處理,從而歸納出適用于整體的結論,使復雜問題得到簡化。

(欄目編輯張正嚴)