物理公式數(shù)學化對理解物理公式的幫助

何永鋒 潘學琴

摘要:本文對大學物理學中“勢”的概念與高等數(shù)學中其原函數(shù)的關系進行了較詳細的分析,得出這樣的結論:通過對某些物理公式“摘除”其具體物理含義,并將其與高等數(shù)學中具有普遍意義的數(shù)學公式進行對比、分析,我們能夠更加深刻地理解物理公式的含義。

關鍵詞:勢函數(shù);原函數(shù);零點;積分上限;積分下限

中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A文章編號:1003-6148(2009)11(S)-0078-2

數(shù)學是學習和研究物理學的重要工具,運用數(shù)學工具解決物理問題是大學物理教學中的重要環(huán)節(jié),善于利用數(shù)學分析方法,能夠更好地理解物理公式的含義。

首先,切莫淡化物理公式中變量的物理含義,而過分強調數(shù)學關系。學生在運用數(shù)學知識解決物理問題的過程中,往往撇開公式的物理意義,忘記公式所表達的物理現(xiàn)象之間的因果關系,容易造成錯誤。如電磁學中的場強公式:

E=F鯭(1)

學生們往往會從公式的數(shù)學形式上得出結論:E穌比于F齷蚍幢扔赒。事實上,方程左端代表一物理事實,而右邊代表一種定義的方法(測定方法),描述的是這樣一個事實:將電量為Q的點電荷放在待測電場中時,受到的電場力為F,并不存在E穌比于F齷蚍幢扔赒的問題。克服這種思維偏差的主要措施,一是要強調公式的物理意義,理解公式所描述的物理現(xiàn)象與物理事實之間的因果關系、決定關系。二是要明確公式的來龍去脈,增強公式的物理色彩,突出對其物理意義的分析。

然而有一些物理公式,在保持其物理色彩的前提下,強調其數(shù)學本質,有時甚至過分地強調。實踐證明,對于初學者來說,強調其數(shù)學本質可以幫助其更加深刻地理解物理公式的本質含義。

例如,大學物理中有關“勢”函數(shù)的概念,與高等數(shù)學中“原”函數(shù)概念,有著對應關系。所以,在講授“勢”概念時,將其還原回到數(shù)學公式,利用掌握的微積分知識,可以澄清一些容易出錯的概念。

高等數(shù)學知識告訴我們,如果一個函數(shù)f(x)有原函數(shù)F(x),則由牛頓-萊布尼茨公式可得到:

∫瑇﹛0猣(x)dx=∫瑇﹛0猟F(x)=F(x)-F(x0)(2)

x、x0分別為積分上、下限,且在同一數(shù)軸上,在學習“勢”概念之前,學生對這一公式應該有了較深刻的理解。

靜電場中“電勢”φ(r)是這樣定義的:

φ(r)-φ(r0)=∫﹔0璻E(r)?dr(3)

公式(3)帶著明顯物理含義,與具有普遍意義的積分公式(2)有著一定的差別。顯然,這種差別是表面上的,式中E鑫電場強度,r0、r分別為積分上、下限,且上限r(nóng)0一般定義為電勢的“零點”。

為了更好地理解這些變化的含義以及場強與電勢之間的關系,將(3)式形式地還原為數(shù)學形式:

φ(r)-φ(r0)=∫瑀﹔0猟φ(r)=∫﹔0璻E(r)?dr=-∫瑀﹔0(E?dr )(4)

可以得到:

dφ=-E?dr=-dW(5)

我們一般定義電勢的改變量為電勢能增量的負值,之所以這樣定義,從數(shù)學公式角度考察,“故意”將積分上下限顛倒,必然會得到這種結果;從物理含義角度來考察,之所以將上下限顛倒,是為了迎合物理習慣:一般情況下,保守力做功導致勢能的減少,而數(shù)學只采用末態(tài)值減去初態(tài)值的方式來描述積分過程。

從(4)式還可以看出,積分變量不再局限于某一坐標軸上變化,可以是描述數(shù)量變化的任何變量。在力學、電磁學中,它通常是三維空間位置向量的大小。

從上述對比、分析過程不僅可以更加深刻地理解保守力做功的含義,而且有關“零點”定義的含義也搞清楚了。如果將上限r(nóng)0處定義為零點,則任意點處電勢為:

φ(r)-φ(r0)|=0=∫瑀﹔0-(E?dr)=∫瑀﹔0猟φ(r)=φ(r)-φ(r0)(6)

值得注意的是,方程左端的φ(r0)=0,是“人為”的,是我們定義的零點,明顯具有物理含義,而方程右端的φ(r)、φ(r0) ,取具體的數(shù)學計算結果(真實結果),φ(r0)不見得取“零”值。從式(6)亦可以看出,如果沒有人為地將方程左端的φ(r0)設定為φ(r0)=0,那么,必須將r處真實值φ(r)修正為φ(r)-φ(r0)。

一般將有限帶電體無窮遠處定義為電勢零點,即有:

φ(r)=∫∞璻E?dr=∫瑀∞dφ(r)=φ(r)-φ(∞)(7)

一般情況下,有限帶電體的φ(∞)=0,與左端“人為”定義的結果相同(巧合),故有:

φ(r)=∫∞璻E(r)?dr(8)

初學者通常會將上式牢記在心, 并且習慣于解決無窮遠處電勢零點問題, 而容易把(6)、(7)式忽略,忽略的后果是,當遇到變換零點問題時,往往無計可施。例如,如果問題中涉及將零點定義在某有限距離r0處時,只要清楚“人為”的、“數(shù)學”的零點的含義,很自然地會利用(6)式來求任意點r處的電勢。例如,任意點r處點電荷Q的電勢φ(r),可以直接寫為:

φ(r)=∫瑀﹔0-(E?dr)=∫瑀﹔0猟φ(r)=∫瑀﹔0猟(Q4πε0r)=Q4πε0(1r-1r0)(9)

顯然,若生硬照搬公式,則(8)式愛莫能助。

總之,有些物理公式,可以通過將其數(shù)學化,來加深對其物理含義的理解。這樣,將有助于培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識、數(shù)學方法描述物理問題的能力,真正建立起物理上的數(shù)量關系的能力,增強運用數(shù)學知識的意識,提高運用數(shù)學工具的能力。

參考文獻

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[3]沈永歡等. 實用數(shù)學手冊[M]. 北京:科學出版社, 2004:175-200.

(欄目編輯張正嚴)