一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)及其線性反饋同步

摘 要:絕對(duì)值項(xiàng)的非線性化作用往往可以代替平方項(xiàng)，Liu等人提出的類Lorenz系統(tǒng)中平方項(xiàng)用絕對(duì)值代替，并利用合適的反饋控制手段，可以構(gòu)造一種新的含有絕對(duì)值項(xiàng)的超混沌系統(tǒng)。利用相圖、Lyapunov指數(shù)、龐加萊映射與頻譜分析等手段，證明了該系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng)。利用線性反饋同步控制理論實(shí)現(xiàn)了新構(gòu)造的超混沌系統(tǒng)的同步。數(shù)值仿真證明，只要選擇合適的線性反饋控制增益矢量，就可以容易地實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的快速同步。

關(guān)鍵詞:類Lorenz系統(tǒng); 超混沌系統(tǒng); 龐加萊映射; 線性反饋控制; 同步

中圖分類號(hào):TP273; O231.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-3695(2009)09-3304-03

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2009.09.029

New hyperchaotic system and its linear feedback synchronization

LI Chun-biao1，2， LIU Bao-bin1，2， ZHENG Xiao-chen3

(1. Dept. of Mechanical Electrical Engineering， Jiangsu Institute of Economic Trade Technology，Nanjing 210007， China; 2. Dept. of Electronic Technology， Jiangsu Research Development Center of Food Safety Engineering Technology，Nanjing 210007，China; 3.University of Technology Sydney， Sydney 2007，Australia)

Abstract:Absolute term can substitute for square term for nonlinear action， when the square term in Lorenz-like system proposed by Liu is replaced by absolute term， a new hyperchaotic system containing absolute term can be constructed by using proper feedback control method. At first， gave Lyapunov exponent， phase portrait， Poincaré mapping and spectrum analysis to verify that the system was hyperchaotic. Secondly， based on linear feedback synchronization control principle， realized synchronization control of the new hyperchaotic system， this synchronization method was simple and effective. Numerical simulation shows that as long as the proper linear feedback control parameter vector is chosen， it is easy to achieve the rapid synchronization between the driving system and response system.

Key words:Lorenz-like system; hyperchaotic system; Poincaré mapping; linear feedback control; synchronization

0 引言

混沌系統(tǒng)在非線性電路、通信和信息科學(xué)中的巨大工程應(yīng)用價(jià)值已經(jīng)被人們所認(rèn)識(shí)。超混沌系統(tǒng)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù)，相軌在更多方向上分離，從而呈現(xiàn)更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性;復(fù)雜的超混沌信號(hào)可以提高混沌保密通信和混沌信息加密的安全性。這些使得超混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生、控制與同步技術(shù)越來(lái)越受到研究者的關(guān)注而成為混沌研究的熱點(diǎn)。對(duì)超混沌的研究將是混沌通信、信息加密等信息工程領(lǐng)域中混沌應(yīng)用的一個(gè)重要課題[1~8]。

20世紀(jì)90年代以來(lái)，混沌同步成為非線性科學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)熱門研究課題。通常，同步是指兩個(gè)初始值不同的混沌系統(tǒng)的軌道距離‖x-y‖在時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)趨于零的狀況。現(xiàn)在，人們研究混沌同步的范圍已經(jīng)涉及到電子線路、保密通信等各個(gè)領(lǐng)域。與此同時(shí)，人們也在不斷探索超混沌系統(tǒng)之間的同步方法。自從計(jì)算機(jī)被應(yīng)用于實(shí)現(xiàn)同步控制以來(lái)[9]，各種有效的方式被用來(lái)實(shí)現(xiàn)混沌與超混沌系統(tǒng)的同步控制[9~15]，如線性反饋控制[10]、非線性反饋控制[11]、自適應(yīng)控制[12]、Backstepping控制方法[13]等。

對(duì)于廣義Lorenz系統(tǒng)族，利用混沌反控制的方法，可在原三階混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上構(gòu)建出相應(yīng)的四階超混沌系統(tǒng)，如Li等人[1]提出的超Chen系統(tǒng)、Chen等人[3]提出的超Lü系統(tǒng)、王興元等人提出的超Lorenz系統(tǒng)。最近，Wang等人[2]基于Liu提出的類Lorenz系統(tǒng)(后簡(jiǎn)稱Liu系統(tǒng))構(gòu)造了一個(gè)超Liu系統(tǒng)，并對(duì)此予以電路實(shí)現(xiàn)。鑒于Liu系統(tǒng)的特殊性質(zhì)，在Liu系統(tǒng)中引入新的非線性控制器，也同樣能實(shí)現(xiàn)超混沌;不僅如此，再將其非線性較強(qiáng)的平方項(xiàng)改為非線性較弱的絕對(duì)值項(xiàng)，該系統(tǒng)能繼續(xù)保持超混沌。研究發(fā)現(xiàn)，該新系統(tǒng)同樣具有非常豐富的動(dòng)力學(xué)特性。Lyapunov指數(shù)譜、龐加萊映射與頻譜特性等證明系統(tǒng)的狀態(tài)變量輸出呈現(xiàn)混沌狀態(tài)?；诰€性反饋同步控制的特性，利用線性反饋同步控制原理，可以實(shí)現(xiàn)超混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的同步。仿真結(jié)果證明了這種方法的有效性。

1 一種含絕對(duì)值項(xiàng)的超混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)[14]提出的Liu混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

x#8226;1=a(x2-x1)x#8226;2=bx1-kx1x3x#8226;3=-cx3+hx12(1)

在此混沌系統(tǒng)中引入新的反饋?lái)?xiàng)，并改造平方項(xiàng)為絕對(duì)值項(xiàng)，得到如下四維系統(tǒng)

x#8226;1=a(x2-x1)x#8226;2=bx1-kx1x3+x4x#8226;3=-cx3+|x1|x#8226;4=x1x3-gx1(2)

其中:a、b、c、g、k、h是常量，而x1、 x2、 x3、 x4?jiǎng)t是系統(tǒng)的狀態(tài)變量。當(dāng)a = 10， b = 40， c = 2.5， k = 16和g = 8時(shí)，采用四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，得到超混沌吸引子，如圖1所示。通過(guò)空間的一個(gè)平面去截系統(tǒng)的相軌，得到龐加萊映射如圖2(a)所示，分析系統(tǒng)輸出混沌信號(hào)的頻譜，得到頻譜圖，如圖2(b)所示。頻譜的連續(xù)寬帶特性，進(jìn)一步表明系統(tǒng)輸出信號(hào)為混沌信號(hào)。由混沌理論知道，在狀態(tài)空間混沌吸引子的相鄰軌線之間呈現(xiàn)彼此排斥的趨勢(shì)，并以指數(shù)速率相互分離，而Lyapunov指數(shù)正是定量描述軌線收縮或擴(kuò)張的量。利用Jacobi方法計(jì)算其Lyapunov指數(shù)，得到LE1 = 0.9995， LE2 =0.146， LE3 =-0.0059， LE4 = -13.635。

設(shè)某一系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜為λ1，λ2，…，λn(從大到小排列)，若該系統(tǒng)具有混沌吸引子，則必須同時(shí)滿足以下條件:a)至少存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)λi>0;b)至少存在某一λi=0(實(shí)際數(shù)值計(jì)算只是逼近這個(gè)數(shù));c)Lyapunov指數(shù)譜之和為負(fù)。上面計(jì)算得到的兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)表明該吸引子是超混沌吸引子，據(jù)此也可以得到李雅普諾夫維數(shù)為

dL=j+(1/LE(j+1))∑ji=1LEi=3+(LE1+LE2+LE3)/|LE4|=3+(0.9995+0.146-0.0059)/|-13.635|=3.0836(3)

進(jìn)一步證明該新系統(tǒng)的維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù)。

2 線性反饋同步控制的基本原理

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為n維自治混沌系統(tǒng)

X#8226;=F(X)(4)

響應(yīng)系統(tǒng)為

Y#8226;=F(Y)(5)

引入線性反饋控制器以后，響應(yīng)系統(tǒng)變?yōu)?/p>

X#8226;=F(X)Y#8226;=F(Y)+K(X-Y)(6)

定義誤差矢量為E=X-Y， 式(6)變?yōu)槿缦滦问?/p>

X#8226;=F(X)E#8226;=G(X，Y，K)(7)

其中:F=( f1， f2，…， fn )T， G=( g1，g2，…， gn )T，X=( x1， x2，…， xn )T， Y=( y1， y2，…， yn )T， E=( e1， e2，…， en )T都是n維矢量;K=diag[k1， k2，…， kn]T是線性反饋控制參數(shù)矢量，T表示轉(zhuǎn)置。系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)假設(shè)為λmax = max(λ1，λ2，…， λn)，線性反饋控制增益定義為k=k1=…=kn。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾卧O(shè)置合理的反饋控制增益矢量。

引理[10] 如果線性反饋控制增益大于混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)， 也就是k > λmax，兩個(gè)具有不同初始條件的相同混沌系統(tǒng)將能夠通過(guò)線性反饋控制達(dá)到同步。

證明[10] 首先系統(tǒng)式(4)(5)矢量場(chǎng)的發(fā)散度可分別定義為

D(X)=∑ni=1(fi/xi)，D(Y)=∑ni=1(fi/yi)(8)

相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為λi(X)、λi(Y)?；谑噶繄?chǎng)耗散度與Lyapunov指數(shù)之和之間的關(guān)系[15]， 并且考慮到系統(tǒng)式(4)(5)是相同的兩個(gè)系統(tǒng)，所以有

D(X)=D(Y)=∑ni=1λi(X)=∑ni=1λi(Y)(9)

對(duì)于系統(tǒng)式(6)，有

D=D(X)+D(Y)-∑ni=1ki(10)

對(duì)于系統(tǒng)式(7)，有

D=D(X)+D(E)(11)

其中:D(E)=∑ni=1λi(E)=∑ni=1gi/ei是誤差系統(tǒng)矢量場(chǎng)的發(fā)散度;λi(E)是對(duì)應(yīng)的Lyapunov 指數(shù)。從式 (9)~ (11)可以得到

D(E)=D(X)-∑ni=1ki(12)

當(dāng)D(E)<0，D(X)-∑ni=1ki<0， 也就是， 如果k >λmax， 誤差動(dòng)力系統(tǒng)軌線的每個(gè)體積元以指數(shù)率D(E)收縮到零，從而實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)具有不同初始值的相同混沌系統(tǒng)之間的同步。因此，只要計(jì)算出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)，就能設(shè)計(jì)得到合適的線性反饋控制器增益矢量，就能夠?qū)崿F(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步。

3 同步控制器增益矢量設(shè)計(jì)與數(shù)值仿真

根據(jù)上述線性反饋控制原理，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(2)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

y#8226;1=a(y2-y1)-k1(y1-x1)y#8226;2=by1-ky1y3+y4-k2(y2-x2)y#8226;3=-cy3+|y1|-k3(y3-x3)y#8226;4=y1y3-gy1-k4(y4-x4)(13)

這里，k = k1 = k2 = k3 = k4 ，而且定義 e1 = y1- x1， e2 = y2- x2， e3 = y3- x3 ， e4 = y4- x4，將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、響應(yīng)系統(tǒng)代入到誤差系統(tǒng)得到

e#8226;1=a(e2-e1)-k1e1e#8226;2=be1+e4-ke2-ky1y3+kx1x3e#8226;3=-ce3-ke3+|y1|-|x1|e#8226;4=-ge1-ke4+y1y3-x1x3(14)

根據(jù)上述引理， 選擇 k>0.999 5就能夠?qū)崿F(xiàn)兩個(gè)超混沌系統(tǒng)之間的同步。數(shù)值仿真，利用四階的龍格—庫(kù)塔方法。選擇驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(2)的初始值為x1 = 2.2， x2 = 2.2， x3 = 0， x4 =0，選擇響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為y1= 1， y2 = 1，y3 =1，y4 =1。選擇k = 0.5， 1.5， 相應(yīng)的誤差變量的波形和驅(qū)動(dòng)、響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)變量的相軌圖分別如圖3、4所示。從圖中可以看出， 只要控制器增益滿足條件k>0.999 5， 就能夠?qū)崿F(xiàn)此超混沌系統(tǒng)的同步。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)在Liu混沌系統(tǒng)中引入狀態(tài)反饋控制器的方法，同時(shí)將平方項(xiàng)改造為絕對(duì)值項(xiàng)，得到一個(gè)含有絕對(duì)值項(xiàng)的四維超混沌Liu系統(tǒng)。系統(tǒng)的超混沌性通過(guò)Lyapunov指數(shù)計(jì)算與龐加萊映射得到了驗(yàn)證。本文把線性反饋控制原理應(yīng)用于此新構(gòu)造的超混沌系統(tǒng)的同步控制，驗(yàn)證了該方法不僅可以用于低維的混沌系統(tǒng)，同時(shí)也能夠應(yīng)用于高維的非線性極強(qiáng)的超混沌系統(tǒng)。利用線性反饋控制原理實(shí)現(xiàn)超混沌系統(tǒng)的同步，關(guān)鍵是要選擇合適的線性反饋控制增益矢量，據(jù)此方能構(gòu)造得到相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)同步控制。根據(jù)同步控制的要求，線性反饋控制增益要大于混沌系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，仿真結(jié)果證明了該結(jié)論的正確性與有效性。

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