基于均值——VAR的投資組合模型

[摘 要] 本文對Markowitz投資組合模型的缺陷進行簡要分析與概括，利用均值-VAR模型將VAR約束引入Markowitz 投資組合理論中，使用VAR代替收益率方差來度量風險，建立基于VAR約束下的投資組合模型。

[關鍵詞] VAR Markowitz 投資組合

一、Markowitz證券投資組合理論概述

1.證券組合的收益—風險衡量與Markowitz理論假設條件

設一投資組合具有n種證券，其收益率分別為r1，r2……rn，用向量表示為r=(r1，r2……rn)T，期望值向量E(r)=(u1，u2……un)T反映了各種證券的期望收益率，方差δ2i=D(r1)反映了第i種證券的風險，協方差δij=δji=cov(ri，rj)反映了第i種證券與第j種證券收益率的相關系數(i，j;1、2……n)，V=(δij)為r的協方差陣。X=(x1，x2……xn)T表示組合證券投資比例向量，滿足enT=1，其中en=(1，1……1)T為元素全為1的n維列向量。組合證券投資的收益率為R=rTX=∑xiri。則投資組合的期望收益率m=E(R)=UTX，投資組合的風險(方差)δ2=D(R)=∑∑XiXjδij=XTVX。

馬科維茨證券組合理論認為:投資者進行決策時總希望盡可能小的風險獲得盡可能大的收益，或在收益率一定的情況下，盡可能降低風險，即研究在滿足預期收益率m≥m0的情況下，使其風險最小;或在滿足既定風險δ2≤δ02的情況下，使其收益最大，也即通過下面模型(A)或(B)來進行證券組合投資決策。

模型(A): minδ2=XTVX

S.t.uTx≥m0

X≥0

模型(B): max m=uTx

S.t.XTVX≤δ02

X≥0

Markowitz組合投資的定量模型是建立在一系列嚴格的假設條件基礎之上的，主要包括:

1.證券市場是有效的，證券的價格反映了證券的內在經濟價值，每個投資者都掌握了充分的信息，了解每種證券的期望收益率及標準差，是價格接受者。投資者可以無限借入資金，也就是說投資者資金量無限大;并且稅收和交易成本不予考慮。

2.證券投資者的目標是:在給定的風險水平上收益最大，或在給定的收益水平上風險最低，就是說，投資者都是厭惡風險的。

3.投資者以期望收益率來衡量未來實際收益率的總體水平， 以收益率的方差來衡量收益的風險性，因而投資者在決策中只關心投資的收益率和方差，如果要他們選擇風險(方差)較高的方案，他們都要求有額外的收益率作為補償。

4.投資者追求其每期財富期望效用的極大化，投資者具有單周期視野，所有Xi是非負的，即不允許買空與賣空。

5.每種證券的收益率都服從正態分布;證券具有無限可分性，也就是說投資者必要的話可以購買部分股權;各種證券的收益率之間有一定的相關性，它們之間的相關程度可以用相關系數或者收益率之間的協方差來表示。

二、Markowitz 的均值——方差模型的缺陷

Markowitz最優資產組合選擇的均值-方差模型，是用于估計投資者投資組合風險與收益的一種有力的工具。但由于其采用的均值——方差模型存在著以下缺陷:

1.均值——方差模型利用方差來衡量投資風險，即預期收益相對于平均收益的離散程度越大，風險也就越大。然而不符合實際情況，因為現實情況中，如果投資收益超出平均收益越多，投資者應該更傾向于高的投資收益，而不是因為由此引起的方差(風險)越大而厭惡它，從而不能使組合優化達到最佳。

2.均值——方差模型未能提供衡量投資者風險厭惡程度的指標。投資者不能夠根據自己的風險厭惡來使自己的組合達到最佳，不同偏好的投資者可能具有不同的衡量標準，其效用函數不同，擁有不同的風險測度，Marlowitz均值—方差模型僅僅是效用函數的特例。據研究，只有證券收益率服從正態分布條件，方差才是風險的有效測度。然而根據對美、日證券業人員的調查結果，投資者對風險、收益的理解不對稱，更談不上均勻分布在均值左右，而統計數據也表明r1并不一定服從正態分布，因而選擇何種度量風險的測度標準，對投資組合的證券及比例的選擇尤為重要。

3.Markowitz根據以往各種證券之間的關聯方式和程度推測它們未來的關聯情況。但在現實中，由于投資者之間的博弈的影響，證券之間的關聯情況并非穩定常態，而是常常發生較大的變化和震蕩。這使得通過以往的數據計算出來的證券收益率的協方差矩陣未必能夠代表未來的情況。

二、引入VAR代替方差后的修正——基于Markowitz的均值-VAR組合模型

1.VAR模型

VAR作為市場風險測定和管理的一種工具，由J. P. Morgan 最先提出，指的是“在正常的市場條件下，給定置信區間的一個持有期內的最壞的預期損失。” 其在數學上表示為投資工具或組合的損益分布( PL distribution) 的α分位數(α-quantile) ，相應的表達式為Pr(-ΔpΔt≥VAR)=α(ΔpΔt表示組合P在Δt持有期內市場價值變化。)

VAR模型提出的最初，僅僅用于度量市場風險。但經過長期應用和發展，該模型已經逐漸擴展到信用風險、交易風險等多種風險的管理，成為目前金融界進行風險組合管理的一個重要方法。將VAR方法引入Markowitz組合投資理論的研究，在一定程度上能夠彌補了投資組合理論在風險度量上的不足。對此，可以在均值-方差模型的基礎上引進VAR 約束，建立基于VAR約束下的組合優化模型。

2.VAR 約束下的組合優化模型——均值-VAR模型

均值-VAR模型，指的是在均值-方差模型的基礎上，即尋找在給定的收益約束下，使組合的VAR最小的投資組合。模型內容為:

(1)當組合的收益服從正態分布時，均值-VAR 有效集是均值-方差有效集的子集，因此均值-VAR 有效集可能為空。對于正態分布，使用均值-VAR 方法與期望效用最大化模型得到的結果一致(或至少近似一致)。

(2)假定具有均值-方差偏好的投資者在組合VAR 小于或等于V ∈R 的限制下選擇投資組合，則可以得到VAR 約束下的組合優化模型為:

其中，c為置信水平，c=1-α是給定的VAR 值。給定一持有期，令置信水平下某風險組合的VAR 為F(-v)=1-c的收益率v，F(*) 是給定期末組合收益率的累積分布函數。對于任意c，c*∈(0，∞)且Ф(-c*)=1-c，Ф(*)是標準正態累積分布函數。在證券回報率為正態分布情況下，根據大數定理，式Prob(rp<-VAR) ≤1-c可轉化為:

VAR=V(c，rp)=Ф-1(c)σ(rp)-E(rp)

此時VAR 約束變為:

Ф-1(c)σ(rp)-E(rp)=V(2)

顯然，VAR 約束線是一條斜率為Ф-1(c)，截距為-V的一條直線。此時原式組變形為:

即得到了VAR 約束下的組合優化模型。

三、引入VAR約束之后投資組合選擇的影響因素

由于VAR 的計算結果受收益率分布及給定置信水平的影響，所以利用VAR代替方差，建立最優投資分配模型后，投資組合的選擇也不再僅僅受投資者的風險規避度影響，而且還受到計算VAR 時置信水平的選擇以及VAR 約束值的大小的影響。

1.VAR具有非凸及非次可加性，因此當投資組合收益的分布不服從正態或對數正態分布時，配置最優投資組合時，使用VAR度量風險會產生較大困難。

2.置信水平越高，表明投資者越厭惡風險，估計的風險也越大，導致最終的投資分配方案趨于保守化。

四、總結

基于VAR 風險測度的最優投資分配模型相對于均值-方差模型來說，考慮到了投資者的風險厭惡程度，因此更具有現實意義。VAR已經被越來越多的金融機構VAR 采用作為風險限額，以測量市場風險，同時也為監管當局使用以確定風險資本金的依據。因此，金融機構及其業務部門投資選擇時往往需要滿足VAR 的約束條件，加之 VAR 是在一定置信水平之下即將面臨的最大損失值，從而提供了一種反映投資者風險承受能力的指標，使得投資者能選擇適合自己風險偏好的組合優化模型。

參考文獻:

[1]王春峰 萬海暉 張 維:金融市場風險測量模型-VAR[J]. 系統工程學報， 2000 (2)

[2]胡榮芳:對Markowitz的均值-方差模型改進的兩種思路[J]. 現代商業 ， 2007，(12)

[3]菲利普·喬瑞:證券組合與投資分析[M].北京:高等教育出版社， 1997

[4]李 蘇:投資組合模型及其邊界分析[J].寧夏大學學報(自然科學版)，2005，(03)

[5]姚 京 李仲飛:基于VAR 的金融資產配置模型[J].中國管理科學， 2004， 12 (1)

[6]杜海濤:VAR模型在證券風險管理中的應用[M]，2000.8

[7]王春峰:金融市場風險管理——VAR方法[M].天津:天津大學出版社，2000

[8]徐 丹:VAR約束下的均值方差及其應用[J].科教文匯，2006(10)