單調動力系統理論概述及應用

摘 要： 本文介紹了單調動力系統的兩個主要性質：極限集二分性和擬收斂點的幾乎處處性，并給出了在泛函微分方程中的一個應用。

關鍵詞： 單調動力系統 極限集二分性 擬收斂

自從19世紀末Poincaré等人從經典力學和微分方程的定性理論的研究中提出“動力系統”這一概念以來，動力系統方法就成為研究微分方程的一個主要工具。動力系統的一個核心問題是軌線的漸近性態和拓撲結構，它包含兩層含義，即軌線的極限集的構成及軌線趨近于它的方式。近幾十年的非線性動力學研究成果表明，任何期望籠統的研究動力系統的漸近性態的想法似乎是不可取的，也是行不通的。因此，我們只能期望于研究某些系統具有哪些通有性質，最簡單的情況是軌線被吸引到平衡點。哪些動力系統具有這種通有性質？由M.W.Hirsch和Hal Smith等人［2-6，8，9］發展起來的單調動力系統對此作了一個相當完美和成功的回答。本文簡單介紹這方面的研究近況，并給出一個具體的例子加以說明。

一、定義及記號

定義1：令Y為帶有正錐Y={y∈Y∶y≥0}的序Banach空間，?坌x，y∈Y。如果y-x∈Y，則記為x≤y；如果x≤y，且x≠y，則記為x＜y。如果序Banach空間Y的正錐Y有非空內部，即IntY≠Φ，稱Y為強序Banach空間。?坌x，y∈Y，如果y-x∈IntY，則記為x?塏y。

定義2：映射Φ：R×X→X稱為X上的半流，如果下面兩條成立：

（a）Φ（x）=x，?坌x∈X；

（b）Φ（Φ（x））=Φ（x），t，s≥0，x∈X。

對于X上的半流Φ，?坌x∈X，記O（x）∶={Φ（x），t≥0}為x的軌道，ω（x）為x的正極限集，E為Φ的平衡點集合，即E={x∈X，Φ（x）=x，?坌t≥0}。如果x∈X，ω（x）?奐E，則稱點x為擬收斂點；如果ω（x）=p∈E，則稱x為收斂點。記X上所有擬收斂點集合為Q，X上所有收斂點集合為C。對于p∈E，記C（p）∶={x∈X，ω（x）={p}}表示以{p}為極限集的所有收斂點集合，則C=C（p）。

下面假設Φ為（強）序Banach空間上X的半流，我們給出一些概念。

定義3：稱Φ為X上的單調半流，如果x≤y?圯Φ（x）≤Φ（y），?坌t≥0；稱Φ為X上的強單調半流，如果x＜y?圯Φ（x）?塏Φ（y），?坌t＞0；稱Φ為X上的SOP（strongly order-preserving）半流，如果Φ是單調半流，且?坌x＜y，存在x，y的鄰域U，V，t≥0使得Φ（U）≤Φ（V），從而Φ（U）≤Φ（V），?坌t≥t。

二、一些簡單性質及命題

命題1：（收斂準則）設Φ是X上的單調半流，x∈X有緊的軌道閉包，且存在T＞0使得Φ（x）≥x，則ω（x）為周期T的周期軌。進一步的，如果使得Φ（x）≥x成立的T為R的開集且非空，或者Φ是X上的SOP半流且Φ（x）＞x，則x∈C。

命題2：（極限集的無序性）設ω（z）為單調半流Φ的正極限集，則

（a）不存在x，y∈ω（z），使得x?塏y；

（b）如果ω（z）是周期軌或者Φ是SOP的，則不存在x，y∈ω（z），使得x＜y。

下面我們假設Φ是序空間X上的SOP半流，且每條軌道都有緊的閉包。通過幾個命題，我們給出SOP半流的極限集二分性原理。

命題3：（共極限原理）設x＜y，存在{t}，t→∞，使得Φ（x）→p，Φ（y）→p，則p∈E。

證明：選取x，y的鄰域U，V，t＞0，使得Φ（U）≤Φ（V），令δ＞0足夠小，使得{Φ（x）∶0≤s≤δ}?奐U，{Φ（y）∶0≤s≤δ}?奐V。則當t≤r，s≤t+δ時，有Φ（x）≤Φ（y）。因此（*）式——Φ（Φ（x））≤Φ（Φ（y））=Φ（y），對?坌s∈［t，t+δ］，足夠大的k成立。

由于Φ（Φ（x））=Φ（Φ（x））=Φ（Φ（x）），其中r=s-t∈［0，δ］，則Φ（Φ（x））≤Φ（y）對足夠大的k和r∈［0，δ］成立。

上式兩邊對k求極限，得到Φ（p）≤p，0≤r≤δ。

同理，在（*）式中將Φ（x）換成Φ（x），Φ（y）換成Φ（y），再對k求極限，得到p≤Φ（p），0≤r≤δ。所以Φ（p）=p，0≤r≤δ，故p∈E。

命題4：（相交原理）設x＜y，則ω（x）∩ω（y）?奐E。如果p∈ω（x）∩ω（y），t→∞，則Φ（x）→p當且僅當Φ（y）→p。

證明：設p∈ω（x）∩ω（y），則存在{t}，t→∞，使得Φ（x）→p，Φ（y）→q∈ω（x），由單調性知p≤q。如果p＜q，由于p，q∈ω（y），則由命題2知矛盾，所以p=q。再由命題3知p∈E。

命題5：（吸收原理）設u，v∈X，?堝x∈ω（u）使得x＜ω（v）（ω（v）＜x），則ω（u）＜ω（v）（ω（v）＜ω（u））。

證明：不妨設x＜ω（v），則存在x，ω（v）的鄰域U，V，t＞0，使得r≥t?圯Φ（U）≤Φ（V）。由ω（v）的不變性知Φ（U）≤ω（v）。

由于x∈ω（u），存在t＞0，使得Φ（u）∈U。則由ω（v）的不變性和單調性知Φ（u）≤ω（v）對?坌s≥0成立，從而ω（u）≤ω（v）。

下證ω（u）∩ω（v）=Φ。否則的話?堝z∈ω（u）∩ω（v），由極限集的無序性知ω（u）=ω（v）={z}，矛盾。所以ω（u）＜ω（v），命題得證。

命題6：（分離原理）設x＜y，存在t→∞使得Φ（x）→p，Φ（y）→q，如果p＜q，則ω（x）＜ω（y）。

下面我們給出SOP半流極限集的一個特征。

定理1：（極限集二分性）設x＜y，則（a）ω（x）＜ω（y）；（b）ω（x）=ω（y）?奐E。且若?堝{t}，t→∞，使得Φ（x）→p當且僅當Φ（y）→p。

證明：如果ω（x）=ω（y），則由相交原理知（b）成立。如果ω（x）≠ω（y），不妨設存在q∈ω（y）\\ω（x）（另一方面亦證）。則存在{t}，t→∞，使得Φ（y）→q，而且Φ（x）→p∈ω（x）（如有必要取{t}的子列）。由單調性知p≤q，再由q?埸ω（x）知p＜q。所以由分離原理知ω（x）＜ω（y），命題得證。

下面我們再給出兩個相關定義，并由此給出SOP半流的擬收斂點稠密的性質。

定義4：A為序空間X的子集，稱L∶={x∈X∶x≤A}（可能為空集）為A的下界，如果u∈L，L≤u，則稱u為A的下確界，記為u∶=infA。同樣有上確界的定義。

定義5：點x∈X稱為下（上）方兩次可達，如果對x的任意鄰域U，存在f，g使得f＜g＜x（x＜f＜g）成立。

引理1：設x∈X＼Q，a=infω（x），如果x下方兩次可達，則ω（a）={p}，p＜ω（x）且x∈。

證明：固定x的任意鄰域M，由ω（x）的無序性知a＜ω（x）。由ω（x）的不變性知Φ（a）≤ω（x），所以Φ（a）≤a，則由收斂準則（命題1）知ω（a）={p}，且p≤a。

由于p≤ω（x），存在ω（x）的鄰域N，s≥0，使得p≤ΦN，對?坌t≥s成立。

取r≥0，使得Φ（x）∈N，對?坌t≥r成立。則t≥r+s當時，有p≤Φ（x）。

令V∶=（Φ）（N）∩M，則V為x的鄰域，V?奐M，且有P≤ΦV，t≥r+2s。

所以u∈V?圯p≤ω（u） （1）

假設x下方兩次可達，取y，y∈V，且y＜y＜x，由二分性原理知ω（y）＜ω（x）。

因為ω（x）?埭E，由SOP半流的性質知存在y的鄰域U?奐V，t＞0，有Φu≤Φy，?坌u∈U。

由二分性知ω（u）=ω（y）或者ω（u）＜ω（y），因此由ω（y）＜ω（x），有?坌u∈U，ω（u）＜ω（x）。

所以ω（u）≤ω（a）={p} （2）

由（1），（2）知U?奐C（p）∩M，命題得證。

假設SOP半流除了滿足每條軌道都有緊的閉包外，還滿足下面條件：

（L）：X的每個極限集ω（x）有下確界，所有下方兩次可達的點集內部在X中稠密，或者X的每個極限集ω（x）有上確界，所有上方兩次可達的點集內部在X中稠密，兩者成立其一。

定理2：設Φ為X上的SOP半流，每條軌道有緊的閉包，滿足條件（L），則X＼Q?奐，且IntQ稠密。

證明：假設Φ滿足（L）的第一個條件，另一同樣證明。記X為所有下方兩次可達的點集內部，由引理1知，X?奐Q∪?奐Q∪，所以開集X＼?奐Q。由于集合A是開集當且僅當IntA=A，因此X＼?奐IntQ，所以X＼=Φ。

故X?奐，從而X=X?奐，所以=X，命題得證。

三、簡單應用

單調動力系統的許多結果可以用來解釋常微分方程和泛函微分方程中軌線的漸進行為，下面我們舉一例加以說明。

考慮滯后微分方程

x′（t）=f（x（t）），x（t-τ） （3）

其中f∶R×R→R，C連續，滿足f（x，y）＞0（4）

選取相空間X∶=C（［-τ，0］，R），其中的序關系為逐點的意義。

給定?準∈X，假設（3）滿足初值條件x（s）=?準（s），s∈［-τ，0］的解局部上存在且唯一。

定理3：假設f滿足條件（4），且初值問題的解有界，則方程（3）的所有解都是收斂的。

證明：由條件（4）知解半流是SOP的（Smith［７］），由于初值問題的解有界，所以所有的軌線有緊的閉包。易知在相空間X∶=C（［-τ，0］，R）中條件（L）成立，由定理2知=X。

因為方程（3）的平衡點解E是完全有序的，由極限集的無序性知Q?奐C，從而定理得證。

四、結語

單調動力系統理論是單調方法與動力系統觀點相結合的產物，其豐富的結果已經應用到常微分方程，泛函微分方程，拋物型微分方程，以及偏泛函微分方程當中。由于泛函微分方程，拋物型微分方程，以及偏泛函微分方程本身的復雜性，這方面的應用有一定的限制。我們可以通過適當選取這些問題的相空間，以及推廣單調動力系統（比如偽單調動力系統，Wu［１］），得到某些相應的結論。

參考文獻：

［1］J.R.Haddock，M.N.Nkashama，J.Wu.Asymptotic constancy for pseudo monotone dynamical systems on function spaces［J］.J.Diff.Eqns.，1992，（100）：292-311.

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［4］M.W.Hirsch.Systems of differential equations which are competitive or cooperative II：convergence almost everywhere［J］.SIAM J.Math.Anal.，1985，（16）：423-439.

［5］M.W.Hirsch.Stability and Convergence in Strongly Monotone dynamical systems［J］.J.reine.angew.Math.，1988，（383）：1-53.

［6］M.W.Hirsch，H.L.Smith.Monotone dynamical systems.In Handbook of differential equations：ordinary differential equations.Vol.II［M］.Amsterdam：Elsevier B.V.，2005：239-357.

［7］H.L.Smith.Monotone semiflows generated by functional differential equations［J］.J.Diff.Eqns.，1987，（66）：420-442.

［8］H.L.Smith.Monotone Dynamical Systems，an introduction to the theory of competitive and cooperative systems，Math.Surveys and Monographs，41［M］.Providence，Rhode Island：American Mathematical Society，1995.

［9］Xiao-Qiang Zhao.Dynamical Systems in Population［M］.New York：Springer，2003.