關于等效單擺周期公式的幾點認識

單擺是高中階段所要處理的一種重要的理想化的物理模型，它由理想化的擺球和擺線組成：1.擺線是質量不計、沒有伸縮的無彈力細線；2.擺球密度足夠大，且半徑比擺線的長度小得多，即可以將其看作是有質量而沒有大小、形狀的一個質點；3.單擺在擺動的過程中不考慮空氣阻力的影響，即認為單擺是一種無阻尼的簡諧運動。因此我們在推導單擺的周期公式T=2π時要滿足α＜10°（有的教參上是5°）的條件下，可以通過簡諧運動的通用周期公式T=2π推導出單擺的周期公式。

從推導的單擺公式中可以看出：單擺的周期與振幅和擺球質量無關。因為從力學的角度分析，單擺的回復力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的一個分力，偏角越大，回復力越大，加速度(gsinα)也就越大，在相等時間力走過的弧長也越大，所以周期與振幅、質量無關，只與擺長L和重力加速度g有關。在有些振動系統中L不一定是繩長，g也不一定為9.8 m/s，因此出現了等效擺長和等效重力加速度的問題。

物理上有些問題與單擺類似，經過一些等效思想的處理可以套用單擺的周期公式，這類問題統稱為“等效單擺”。等效單擺在生活中比較常見，本文主要講述等效單擺在一些問題中的應用。

一、等效單擺

等效單擺分等效擺長單擺L′、等效重力加速度單擺g′，以及擺長、重力加速度雙重等效單擺三種情況。等效單擺的周期公式為T=2π。

1.等效擺長單擺。

等效擺長L′不再是懸點到擺球球心的距離，而是指擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離，擺動圓弧的圓心即為等效單擺的懸點。

例1：雙線擺由兩根長為L的細線下端栓一質量為m的小球構成，如圖1所示，兩線夾角為2α，今使擺球在垂直紙面的平面內作小幅度擺動，求其周期。

解析：當雙線擺在垂直紙面的平面內作小幅度擺動時可以等效為以AB的中心為懸點， OO′長為擺長的單擺，其等效擺長為L′＝Lcosα，故此擺周期為：T=2π。

2.等效重力加速度單擺g′。

該類單擺的等效重力加速度g′≠g，但擺長仍為懸點到球心的距離。等效重力加速度g′與單擺所在的空間位置、單擺系統的運動狀態和單擺所處的物理環境有關。

（1）公式中的g′由單擺所在的位置離星球海平面的高度決定，由萬有引力公式推導出g′＝G知，g′隨地球表面不同位置、不同高度而變化，且在不同的星球上也不相同，在同星球上不同緯度高度也不相同，因此應求出單擺所在處的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s，9.8m/s僅僅指在地球的赤道上的重力加速度。

（2）g′由單擺系統的運動狀態決定，“等效重力加速度”等于擺球處于平衡位置不振動時，等效擺長“繩子”上拉力對擺球產生的加速度。具體求法：等效重力加速度g′等于擺球相對系統靜止在平衡位置時擺線的張力（視重）T與擺球質量m的比值，即g′＝。

例2：如圖2所示，將擺長為L的單擺放在一升降機中，若升降機以加速度a向上運加速運動，求單擺的擺動周期。

解析：單擺的平衡位置在豎直位置，若擺球相對升降機靜止，則單擺受重力mg和繩拉力F，根據牛頓第二定律：F－mg＝ma，此時擺球的實重mg′＝F＝m(g＋a)，所以單擺的等效重力加速度g′＝F/m＝g＋a，因而單擺的周期為T=2π=2π。

拓展：如圖3（a）所示，長為L的輕繩一端系一質量為m的小球，掛于小車支架上的O點，當小車以加速度a向右加速運動時，將小球拉離平衡位置α（＜10°）由靜止釋放，求其周期。

圖3（a) 圖3（b)

解析：當小球相對小車靜止時，擺球的平衡位置偏離豎直θ角，如圖3（b）中A點為擺球的平衡位置，擺球相對車靜止在平衡位置時，繩子拉力為F，則由牛頓第二定律：

Fcosθ＝mg ①

Fsinθ＝ma ②

解得F＝m。

懸線拉力產生的加速度，即等效重力加速度g′＝，

所以：T=2π。

（3）g′還由單擺所處的物理環境決定，如帶點小球做成單擺在豎直方向的勻強電場中，回復力應是重力和電場力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有一個等效重力加速度的問題。

例3：如圖4所示，擺長為L的單擺，小球質量為m，帶正電荷，電荷量為 q，處在水平向右的場強為E的勻強電場中，擺球靜止時所在平衡位置偏離豎直θ角（tanθ＝），現將小球拉離平衡位置α（＜10°）由靜止釋放，求其周期。

解析：由平衡條件，當小球靜止在平衡位置時，擺線的張力F=mg′=，等效重力加速度g′＝/m。所以：T=。

3.擺長、加速度雙等效單擺。

例4：如圖5是記錄地震裝置的水平擺示意圖，擺球m固定在邊長L、質量可忽略的等邊三角形頂點A處，它的對邊BC與豎直線成不大的角θ，擺球可沿固定軸BC擺動，則擺球做微小振動的周期是多少？

解析：當m做微小擺動時，實際上圍繞BC中點O運動，所以等效擺長應是L′＝Lsin60°＝L。

當擺球處于平衡位置且不擺動時，沿OA方向的等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，即g′＝gsinθ。故擺球的振動周期T=2π。

二、單擺模型在其它問題中的應用

在處理物理問題時，最好將生活的實例轉化為我們熟悉的物理模型，通過構建物理模型，應用熟悉的模型所遵循的規律解答問題是一種最常用的方法，而單擺模型常可以用于解決其它力學問題。

例5：如圖6（a）所示，A、B為固定在輕桿中點和一個端點的兩個小球，桿可繞O點無摩擦地轉動，將輕桿從圖中水平位置由靜止釋放，在輕桿下落到豎直位置的過程中（ ）。

A.兩球各自的機械能均守恒

B.桿、球組成的系統機械能守恒

C.A球機械能的增加等于B球機械能的減少

D.A球機械能的減少等于B球機械能的增加

圖6（a） 圖6（b）

解析：構建單擺物理模型，令OA和OB各構成一個單擺如圖6（b）所示，則A球的周期比B球的周期小，A球先擺到豎直位置，由此可推知，在本題中A球通過桿對B球做正功，A球的機械能減少，B球的機械能增加，桿、球系統的機械能守恒。故選項B、D正確。