大道至簡妙得解

一些中考題的命制可謂匠心獨運，能較好考查學(xué)生的觀察、分析、判斷能力，能用煩瑣的計算，也可用省事的辦法解出.俗話說大道至簡，令人嘆為觀止，深悟教學(xué)變形之妙.

在一次“一元二次方程”復(fù)習(xí)練習(xí)時，無意中碰到了一道選擇題:

例:(2008年浙江省杭州市)已知x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( ).

A.(x-p)2=5B.(x-p)2=9

C.(x-p+2)2=9D. (x-p+12)2=5

粗略一看，覺得很簡單，讓學(xué)生思考一會后我就問:“想出來沒有?”快到下課時間了，我想，講完這道題應(yīng)該沒問題.

沒有學(xué)生回應(yīng)我，都在冥思苦想。突然，生甲說:“好像選擇B.”我心中一喜:“請講一講你的做法.”生甲:“x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7，由x2-6x+q=2，就是在右邊加上2，7+2就等于9，所以選擇B.”

大家聽了，覺得他的解法好像很有理由，但又不夠充分，我沒有作出任何表示，而是問大家:“他的解釋聽明白沒有?”大多數(shù)學(xué)生都說不明白.

稍后，學(xué)生乙舉手說:“等一等，我算出來了，p=3，q=2，代入式子，答案選擇B.”我讓他說一下解法，他說:“因為x2-6x+q=0配方后為(x-3)2=9-q，又因為(x-p)2=7，所以p=3，q=2，代入x2-6x+q=2，得x2-6x+2=2，配方x2-6x+9=9，即(x-3)2=9.”

大家都覺得他的這種解法可行，我及時問道:“還有其他辦法嗎?”

生丙說:“有，把(x-p)2=7展開得x2-2px+p2=7，即x2-2px+p2-7=0，對比x2-6x+q=0，可得p=3，q=2，代入計算，結(jié)果也是B.”

大家均表示贊同他們的解法.

生丁說:“還是甲說得對，右邊加2就是9了，所以選擇B嘛，很簡單.”

我:“換成3，可以嗎?會是(x-p)2=7+3=10?”(我想讓學(xué)生試試看，到底可以寫成什么樣的算式。)

生戊板演:若x2-6x+q=3，q=2，則(x-p)2=7+3=10，即(x-3)2=10，再換個數(shù)試一下，4和5就成了(x-p)2=7+4=11，(x-p)2=7+5=12，等式還是成立的.

這時大家都愣住了，覺得太奇怪了，怎么會有這樣的算式!

我笑了笑:“有哪位同學(xué)能解釋清楚這個問題?”

學(xué)生此時想說又說不出來，有的學(xué)生說右邊加上什么數(shù)就是什么數(shù)!引來了哄堂大笑.

大笑之余我說:“大家剛才的解法都是不錯的，只不過這道題的解法可以巧妙一點，你們看:x2-6x+q=0可以化成(x-p)2=7，即(x-7)2=0.注意右邊都是0，再看x2-6x+q=2，相當(dāng)于右邊變?yōu)?+2=2，有(x-p)2-7=0+2，即(x-p)2=7+2=9，右邊加上任一個數(shù)a，移項后都有(x-p)2=7+a.至于x是否有實數(shù)解則另當(dāng)別論了.”

E-mail:hit790205@163.com

編輯/張燁