方案設計問題在中考中的命題特點及主要解法(上)

隨著課程改革在全國的進一步推進，各地中考試題對學生應用能力和實踐能力的考查成了重頭戲，這類試題利用數學知識或是解決實際問題、或是規劃設計、或是補充完整，從而形成了一類具有藝術性、實踐性且不失科學性的新穎而又具有開放性的題型——方案設計型.這類數學題型的涌現，極大地激發了學生學習數學的興趣，以及“用數學”的強烈欲望，同時也顯示了中考命題改革對數學的良好導向作用.

一、方案設計型試題的特點

所謂方案設計型試題，就是通過設置一個問題情境，給出若干信息，提出解決問題的要求，讓學生運用學過的數學知識和方法，進行分析、設計或操作，以尋求解決問題途徑的一種題型.

方案設計型試題屬于過程開放題.由于其解決問題的方案不是唯一的，具有多樣性和選擇性，因而又具有開放型試題的特點.方案設計型試題一般給出設計要求，需要學生根據要求自己設計方案.有時需要學生通過觀察、歸納、探索和比較等手段尋找解決實際問題的方法，得到最佳答案.

方案設計型試題型命題背景廣泛，此類問題命題的形式與特點是:在一些密切聯系生產、生活和市場經濟的實際問題中，設計出一個最好的方案，以求得最好的實用效果.其常需要運用不等式、一次函數等知識設計不同的方案，或制訂一個最佳方案，來解決在生產、運輸、營銷、購物等經濟活動中的實際問題.

方案設計型試題往往以閱讀的形式出現，要求學生在讀懂題意的基礎上，靈活運用所學知識自行設計一個解決方案，并通過計算得出方案的結論來達到解決實際問題的目的.這類問題不僅考查了學生的閱讀能力、分析推理能力、數據處理能力，還能考查學生的文字概括能力和動手能力.

二、重點題型解析

1.動手畫圖設計操作型.

例1:(2009年陜西省)問題探究:

(1)請在正方形ABCD內，畫出使∠APB=90°的一個點P，并說明理由;

(2)請在正方形ABCD內(含邊)，畫出使∠APB=60°的所有的點P，并說明理由.

問題解決:

(3)現在有一塊矩形鋼板ABCD，AB=4，BC=3.工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP'D鋼板，且∠APB=∠CP'D=60°.請你在畫出符合要求的點P和P'，并求出△APB的面積(結果保留根號).

分析:本題為降低考生解題的難度，采用了從特殊到一般再到特殊，從找一個點到找無數個點再到找符合要求的有限個點的命題順序設計問題，問題的前一問對后一問有提示和引領作用，考生只需根據問題逐一解決即可.(1)在圖①的正方形ABCD內，畫∠APB=90°的一個點P，實質就是以AB為直徑，在正方形ABCD內畫弧，然后在弧上任取點P即為要求的點.不過本題要求只要找出一個點即可，根據正方形的對角線互相垂直，連接BD、AC，則交點即為點P.(2)由(1)可知，要在圖②的正方形ABCD內(含邊)，畫出使∠APB=60°的所有的點P，其實質就是在正方形內作一段圓弧，且 所對的圓周角等于60°.

解:(1)如圖①，

連接AC、BD交于點P，則∠APB=90°.

∴點P為所求.

(2)如圖②，畫法如下:

以AB為邊在正方形內作等邊△ABP，

作△ABP的外接圓⊙O，分別與AD、BC交于點E、F.