最優信用限額與信用卡均衡

摘要:本文建立兩期動態模型，將信用限額引入對信用卡均衡的分析中，研究了信用卡均衡存在的條件，在此基礎上對最優信用限額的合理設定進行了具體分析。研究表明，一方面，信用限額需要根據持卡消費者的不同收入區間進行具體的市場細分，另一方面，隨著信用卡市場逐漸走向成熟，最優信用限額具有動態上升的態勢，同時還與具體市場環境下卡組織的風險偏好有關。而信用限額的提高會導致商戶扣率的下降，同時還會導致違約風險的增大。文章最后考慮了信用違約，分析表明即使存在違約，從長期來看卡組織降低信貸準入門檻仍然是有利可圖的。

關鍵詞:信用限額;信用卡均衡;商戶扣率;信貸準入

Abstract:Based on a two-period dynamic model，this paper introduce credit limit into the analysis of credit card equilibrium and find out the conditions under which the equilibrium exists，then have a detailed research on the reasonable setting of the optimal credit limit. The results show that，on one hand we should perform specific market segmentation according to card users’different income distribution，on the other hand the optimal credit limit should be a dynamic increasing process following the growing up of the credit market，and also it is correlated with card organization’s risk preferences under different market environment. The rise of credit limit will induce the decrease of merchant discount and the increase of default risk. By considering credit default，the article drew an important conclusion that it’s profitable for card organization to lower credit access threshold even there exists default risk in the long run.

Key Words:credit limit，credit card equilibrium，merchant discount，credit access

中圖分類號:F830.46 文獻標識碼:A文章編號:1674-2265(2010)01-0010-06

一、引言

自2003年以來，我國信用卡業務出現了井噴式增長，多數銀行相繼設立獨立運作的信用卡中心，加強了信用卡營銷力度，信貸總額快速增長。目前銀行卡消費業務不斷快速增長，我國社會消費品零售市場進一步活躍，銀行卡滲透率首次突破30%。不過，由于信用卡期末授信總額和期末應償信貸總額(信用卡透支余額)持續大幅增長，出現逾期半年未償信貸總額不斷增加以及其占期末應償信貸總額比例略有上升的問題，壞賬風險依然存在。當越來越多的人開始使用信用卡時，接踵而來的一系列問題便產生了，目前主要體現在兩點:一是各家銀行如何在同行業競爭中實現信用卡收益的突破，深入挖掘更有潛力的用戶需求;二是如何在不斷擴張的信用卡發卡量上控制違約率的高企。

央行2009年9月公布的《2009年第二季度支付體系總體運行情況》顯示，截至2009年第二季度末，信用卡逾期半年未償信貸總額57.73億元，與第一季度相比增加8.03億元，增長16.2%，同比增長131.3%。信用卡逾期半年未償信貸總額占期末應償信貸總額的3.1%，比第一季度增加0.1個百分點，占比同比增加0.7個百分點，信用卡壞賬風險依然存在。據預測，到2010年，中國信用卡將突破1億張;而未來的5—8年內，中國信用卡貸款將達到90億——120億美元的規模。

在我國信用卡市場發展完善的過程中，有許多理論問題沒有得到很好的解決，現有的許多文獻雖然也研究了信用卡，但是基本上是放在銀行卡或者支付卡的研究框架下進行的，在模型中沒有對信用卡的本質特征——信用限額問題進行刻畫，同時進行的是單期的靜態研究，這就導致得出的結論有較大的局限性。

現有的許多文獻研究了交換費的機制和最優交換費的確定。Baxter認為交換費是一種平衡消費者和商戶對于信用卡服務的需求以及發卡行和收單行成本的必要機制，交換費非中性，從而開創了這方面研究的先河。Frankel也認為額外收費規則會導致交換費非中性。但是與此相反，Carlton和Frankel，Gans和King，Rochet，Tirole和Schmalensee認為當商戶被允許實行額外收費規則的條件下交換費是中性的。Rochet、Tirole和 Wright還研究了在單一價格政策下，利潤最大化交換費和社會最優交換費相偏離的條件。可見在理論界對于交換費是否中性，以及最優的交換費究竟如何設定存在較大的爭議。鑒于此，本文不將交換費作為研究對象。還有許多文獻如Baxter，Schmalensee，Bolt 和Tieman簡單地假設只有當商戶從受理卡中獲得的交易收益超過商戶扣率時才會接受卡支付方式，與此相反，Frankel(1998)，Gans和King，Katz，Schwartz和Vincent都假設商戶是在不考慮商戶扣率的情況下受理卡的，盡管他們都顯性或隱性地假設商戶扣率有必要保證商戶獲得正的利潤水平。但是實際上當我們考慮到信用卡的信用限額時，商戶是否受理卡以及由此帶來的商戶扣率的變化并不像現有研究那樣簡單。而本文引入信用限額，解釋了商戶之所以受理卡是由于缺少流動性的消費者在本期可以在信用限額內向商戶購買，商戶至少在本期實現一個穩定的銷售而不需要等到下期去面對一個不確定性的銷售量。在這些文獻中的一個例外是Chakravorti和To的研究，他們雖然也考慮了信用限額問題，但是沒有把刷卡消費者和商戶放在一個統一的框架下進行研究，沒有考察最優信用限額隨消費者收入的不同區間以及信用卡市場完善程度所帶來的動態變化，以及由此對于信用卡均衡的影響，本文在Chakravorti和To研究的基礎上進行了擴展。本文將信用限額引入對于信用卡均衡的多期分析，研究指出最優信用限額的合理設定有利于信用卡市場的發展壯大，而最優信用限額的設定需要從兩個角度進行綜合考慮:一方面，需要根據持卡消費者收入的具體分布地進行具體的市場細分，再針對不同收入區間的持卡消費者設定不同的信用限額;另一方面，隨著信用卡市場逐漸走向成熟，最優信用限額應該具有動態上升的態勢。同時，最優信用限額的確定取決于卡組織的風險偏好，而這又依賴于具體的經濟環境和市場條件。

還有些文獻試圖解釋當前世界上一些國家商戶扣率普遍較高的原因，如Rochet和Tirole、Wright、Vickers、Hayashi等，雖然這些研究的基本假設和研究思路不同，但都認為交換費過高必然引起商戶扣率過高從而導致商戶抵制(merchant resistance)。而本文認為信用額度偏低、信貸準入較寬松也是商戶扣率較高的一個重要原因。在此基礎上進一步考慮消費者的違約行為，研究表明無論是否存在消費者的違約，卡組織降低信貸準入門檻都是有利可圖的。并且，與不存在違約時相比，在存在違約情況下卡組織降低信貸準入門檻所獲得的額外收益要更高。這是由于在存在違約情況下，卡組織通過收取更高的商戶扣率而向商戶轉嫁部分違約風險，而這又可能導致商戶實行額外收費規則以補償因受理卡所帶來的成本上升。

二、基本模型

銀行卡組織的運作涉及到五方參與人: 消費者、特約商戶、發卡行(消費者的代理行)、收單行(特約商戶的代理行)、銀行卡組織。本文在研究中將發卡行、收單行和銀行卡組織三者看作一個整體，并且統稱為卡組織。之所以這樣設定是由于:(1)本文研究的核心問題不是發卡行和收單行之間交換費的決定問題。(2)銀行卡組織分為封閉型和開放型兩種類型，對于封閉型銀行卡組織而言，發卡行、收單行和銀行卡組織本身就是三位一體的整體，對于開放型銀行卡組織而言，發卡行和收單行一般都是銀行卡組織的會員銀行或股東，此時將三者作為整體看待也是合理的。

假設完全壟斷商戶所提供的代表性商品或服務的價格為 ，單位成本滿足，商戶在如何決定商戶扣率問題上沒有討價還價能力。假設對于每筆信用卡交易，商戶需向卡組織支付的商戶扣率為 。商戶的目的是在商戶扣率可以承受的前提下，通過受理信用卡盡可能多地增加銷售。商戶實行非額外收費規則(No Surcharge Rule)，也就是說商戶對于購買同樣商品或服務的現金消費者和持卡消費者收取同樣的價格。商戶在第一期決定是否接受信用卡支付。

假設只存在兩期，每一個消費者的收入為，

。對于每一個消費者而言， 是獨立分布的，收入存在連續的累計分布函數 ，對應的概率密度函數為 ，且 。折現率為。消費者有兩種支付工具可供選擇:使用現金支付，或者在有足夠的信用額度時使用信用卡進行支付。設利率為，消費者在第一期沒有花完的每一單位貨幣在第二期可獲得的回報為，消費者第一期借貸的每一單位貨幣在第二期需向發卡行支付的本息總和也為 ， 也可以看作是收單行對于商戶完成的每一單位貨幣的交易所獲得的利息收入。相對于現金支付而言，信用卡支付給消費者帶來的收益為 ， 在區間上服從概率密度為的分布，對應的累積分布函數為 。機遇率是

的增函數， 表示消費者使用信用卡支付獲得的凈剩余。

假設完全壟斷的卡組織對所有的消費者設定信用卡的信用限額為 。由于只持續兩期，假定發卡行只在第一期向消費者提供信貸，因此消費者如果決定在第二期購買只能使用現金進行支付。發卡行選擇信用限額:若 ，;若 ，，其中。由于消費者的收入越低違約的風險越大，因此最優信用限額應該在一個合理的區間內波動，設定 ，且 。卡組織通過選擇最優的

來最小化違約風險，從而實現收益最大化。我們稱

為信貸準入的收入門檻，也就是說:當時，

;當 時，。

博弈時序為:(1)時，卡組織選擇信貸準入的收入門檻，以及商戶需向卡組織支付的商戶扣率

;商戶決定是否受理信用卡;(2)時，自然狀態決定每一個消費者在第一期的收入和需求;消費者做出是否購買的決策;如果決定購買，再決定是否使用信用卡進行支付;(3) 時，自然狀態決定每一個消費者在第二期的收入和需求;卡組織進行債務結算;消費者做出購買決策，并且如果在第一期使用信用卡透支消費，需要支付全部余額。

三、均衡分析

(一)消費者

根據逆向歸納法進行求解，先考慮第二期消費者的行為選擇。設消費者如果決定在第一期購買也會決定在第二期購買，也就是說消費者不是一次性購買，而是重復購買，這排除了消費者的投機行為。假設消費者只能在第一期借貸消費，因此消費者如果決定在第二期購買只能使用現金支付。顯然，消費者在第二期的購買決策與第一期的購買決策有關。

當消費者在第一期借貸購買，則在第二期也購買且使用信用卡支付時，必定滿足，

當使用現金支付時必定滿足 。

由于 要在第二期期末才能實現，而購買行為是在第二期期中發生， 在第二期已經實現，因此在考慮第二期的購買行為時，可以將看作常量，而將看作隨機變量，主要考慮應該滿足怎樣的條件，使得消費者的購買行為在第二期能夠得以順利實現。在第二期收入實現之前，當消費者在第一期購買時，則在第二期使用信用卡支付能夠承擔的概率為:

第二期使用現金支付能夠承擔的概率為:

若消費者在第一期不購買，則第二期能夠承擔起的概率為:

消費者因不能按時還貸而違約的概率為:

現在來分別計算消費者在第一期使用信用卡支付和現金支付所得到的折現期望效用。

只有當 時，消費者才會使用信用卡進行支付。愿意使用信用卡支付的消費者比例為:

則使用現金支付的消費者比例為 。消費者刷卡帶來的平均收益為:

不考慮跨期替代，消費者通過信用卡支付獲得的期望剩余為: ，

且。當消費者在兩期都購買， 且在第一期借貸通過信用卡進行支付時，第一期的折現期望效用為:

當消費者在兩期都購買， 且在第一期通過現金進行支付時，第一期的折現期望效用為:

當消費者在第一期不購買而只在第二期購買時，其效用為0。

引理1:在存在兩期的跨期替代中，無論商戶是否受理卡，消費者的最優選擇是在第一期借貸，使用信用卡進行刷卡支付，在第二期也會進行購買。

證明:由于只有當消費者通過信用卡支付所獲得的期望剩余為正時，消費者才會選擇卡支付，因此有:

由分布函數非減性可知:

等號當且僅當時成立。則:

由(1)和(2)得到:

引理1說明即使 ，由于借貸刷卡消費者能夠獲得足夠多的剩余，與現金支付方式相比較，消費者也更偏好于信用卡支付方式，只要消費者在第二期能夠按時還貸，在第一期使用信用卡支付就是消費者的最優選擇。卡組織通過在第一期向消費者提供信貸不僅影響消費者的第一期消費，而且影響第二期的消費行為。第一期通過借貸，使得那些第一期的收入不足以支付貨款的消費者能夠購買到自己所急需的商品和服務，而這又會間接地影響到第二期的消費。

(二)商戶

由于商品價格p和成本c都是外生的，且相對于受理現金而言受理卡是昂貴的，商戶只有在受理卡能夠增加銷售額時，才會接受卡支付方式。在信用卡均衡時必有 ，這正是引理1所體現的意義。也就是說正是由于卡組織在第一期允許那些愿意購買卻無力支付的消費者通過信用卡透支消費，從而能增加商品的銷售額。這是信用卡均衡存在的前提條件。給定 ，商戶受理卡時的折現期望利潤為:

當商戶只受理現金時，由于商戶具有完全壟斷地位，這將會迫使本來愿意刷卡消費的消費者現在只能進行現金支付。此時商戶的折現期望利潤為:

戶受理信用卡當且僅當

假設，則。因此要使商戶受理卡，必須使得 。

當 時，，只要商戶扣率

比較小，(3)式成立。通過受理卡，商戶至少能額外增加個單位的銷售量，這就達到了商戶受理卡的預定目標。商戶之所以受理卡，是由于缺少流動性的消費者在本期可以在信用限額內向商戶購買，商戶至少在本期實現一個穩定的銷售而不需要等到下期去面對一個不確定性的銷售量。從而有以下引理。

引理2:在信用限額內，缺少流動性的消費者通過在本期實現自己的需求，使商戶至少在本期可以實現一個穩定的銷售量而不是等到下期面臨一個不確定性的銷售量，這是商戶有積極性受理信用卡的重要原因。

由前面對于消費者的分析可知，至少在第一期，無論商戶是否受理卡，消費者選擇刷卡支付是占優策略。而從這里的分析可知，給定消費者刷卡，商戶受理卡是最優選擇。綜合可知，當時，信用卡市場的納什均衡存在:商戶受理卡，消費者使用信用卡支付。由此得到以下命題:

命題1:當信用限額 ， 時，信用卡均衡存在。

現在針對(3)式，討論兩種極端情形:

當 時，刷卡消費者比例接近于0，只要，(3)式成立。

這說明在信用卡市場發展初期，雖然愿意刷卡支付的消費者數量是微不足道的，但只要信用限額滿足，就有利于培養商戶受理卡的積極性，因為商戶預期未來會由于受理卡而使得自己的銷售增加個單位。由于信用卡市場網絡外部性的存在，隨著更多商戶受理卡，這又會吸引更多的消費者使用信用卡刷卡支付。通過商戶和消費者之間的良性互動，有利于信用卡市場的發展壯大。

當時，刷卡市場幾乎被完全覆蓋，信用卡市場處于比較成熟的發展階段。

要保證(3)式成立，要求信用限額 ，

使得銷售量的增加所帶來的收入超過商戶扣率增加造成的損失時，商戶才有積極性繼續受理信用卡。這說明最優信用限額并非一成不變，而是隨著信用卡市場的逐步完善而水漲船高，具有動態上升的態勢。

以上只是從縱向的、動態的角度，考察了最優信用限額隨著信用卡市場的逐漸成熟的動態上升過程。現在我們從橫向的、靜態的角度來思考，則需要根據持卡消費者收入的具體分布，將消費者按照低收入群體、中等收入群體和高收入群體，對于持卡消費者進行具體的市場細分。如果不考慮持卡者收入的分布情況而籠統地設定一個統一的信用限額，一方面，如果信用限額設定過高會導致中低收入群體用戶需求的流失，也會導致因違約的加劇而給卡組織帶來重大損失;另一方面，如果信用限額設置過低，會導致卡組織的交易成本上升以及高收入群體利息收入的流失。因此，在掌握持卡消費者收入的完整信息之后，需要根據不同收入段的持卡消費者設定不同的信用限額。

由此可見，最優信用限額的設定需要從兩個角度進行綜合考慮:(1)從橫向的靜態的角度看，需要在掌握持卡消費者收入具體分布的前提下對于持卡消費者進行具體的市場細分，再根據不同收入區間的持卡消費者設定不同的信用限額。(2)從縱向的動態的角度看，最優信用限額有利于培育信用卡市場的發展壯大，隨著信用卡市場逐漸走向成熟，最優信用限額具有動態上升的態勢。

(三)卡組織

將卡費 作為外生給定，卡組織的目標是通過對于商戶扣率和信貸準入 的選擇來實現利潤最大化。卡組織放貸的目標群為第一期收入的消費者，假設目標群消費者的總收入

服從 分布，對應的概率密度為 。給定已經實現的條件下，的分布函數為:

則 在滿足條件 下對應的條件分布為:

當總收入，消費者因不能按期還貸而違約，違約的條件概率為 ，則不違約的概率為。當時，可以保證必定有部分消費者違約。卡組織的利潤函數可以寫成如下形式:

其中 表示卡組織在第一期所獲得的收入， 是第二期從不違約的消費者那里獲得的收入，是第二期從違約的消費者那里獲得的期望收入。

只要 連續，必定連續; 外生給定，且

緊致集。根據維爾斯特拉斯定理(The Weierstrass Optimization Theorem)， 存在最大值，因此至少存在一個均衡。

最優的可以通過來求解。卡組織的一部分利潤來自于通過向商戶征收商戶扣率而獲得，如果過高，會導致，此時商戶不愿意受理信用卡，信用卡均衡不存在;如果 較低，會使得，商戶受理信用卡的意愿較強，尤其是當存在許多商戶的時候，卡組織通過提高顯然是有利可圖的。但是有上界的，不可能無限制地增大，最優的 值只能通過 來實現，這樣的

值是卡組織和商戶都可以接受的，因而從整體社會福利角度而言是最優的。由

由此得到以下命題:

命題2:卡組織提高信用限額，實行較為嚴格的信貸準入時，將會導致商戶扣率下降。

命題2說明，提高信用限額，短期內會增加卡組織的收入，這是由于卡組織面臨的是高端客戶需求，通過規模經濟而帶來的成本節約;但由于信用限額提高導致商戶扣率下降，從長期來講會降低卡組織的收入。卡組織需要在長期利益與短期利益之間作出取舍。對于發展不成熟的信用卡市場而言，應該暫時犧牲短期利益追求長期利益，也就是要適當降低信用限額，以培育信用卡刷卡消費的用戶規模。只有當用戶規模達到某一臨界值時，通過提高信用限額來開發高端用戶才是合理的選擇。

從另外一個角度看，命題2說明卡組織提高商戶扣率的能力在某種程度上取決于加入信用卡刷卡消費網絡的用戶規模。用戶規模越大，卡組織越有可能提高商戶扣率;用戶規模越小，卡組織傾向于降低商戶扣率。當卡組織實行較為嚴格的信貸準入時，會導致用戶規模的縮小，因此間接導致了商戶扣率的下降。這是由于信用卡產品有典型的網絡外部性特征，用戶規模的縮小，會導致商戶受理卡所帶來的價值下降，打擊了商戶受理卡的積極性，使得信用卡交易額下降，這必然會導致商戶扣率的下降。

將(5)代入(4)中得到信用卡均衡時卡組織的利潤為:

命題3:當利率 較小時，無論是否存在消費者的違約，卡組織通過降低信貸準入門檻都是有利可圖的。并且，在存在違約情況下卡組織降低信貸準入門檻所增加的收益要高于不存在違約情況下降低信貸準入門檻所增加的收益。這是由于在存在違約情況下卡組織通過收取更高的商戶扣率而向商戶轉嫁部分違約風險，而這又可能會導致商戶實行額外收費規則。

證明:分兩種情況對(8)進行討論。

因為，則當時，有。

這說明當利率 較小時 ，在均衡條件下，卡組織降低信貸準入門檻，可以增加自己的利潤，也就是說卡組織愿意向更多的持卡消費者發放信貸，來擴大信用卡刷卡消費交易規模，這從長期來看對于卡組織是有利的;另一方面，由于利率水平較低，通過借貸使用信用卡刷卡支付對于消費者來說也是有吸引力的。

當 時，有

比例的消費者違約。

從(10)式可以看出，當 且

時，依然有。說明當利率比較小，且違約的消費者比例在一個可控的范圍之內時，卡組織在均衡時通過降低信貸準入門檻，依然是有利可圖的。也就是說，雖然存在因消費者違約而帶來的信貸風險，卡組織依然有動機采取措施去擴大信用卡刷卡消費的交易規模以期望未來較高的回報。

再比較(9)和(10)，可知，

這說明在存在違約的情況下，卡組織降低信貸準入門檻所增加的收益甚至要高于不存在違約的情況下降低信貸準入門檻所增加的收益。

這一點似乎有些反直觀，但實際上如果將信用卡均衡時的商戶行為考慮進來，就容易理解這一點。由前面的(6)式可知，在信用卡均衡時， 。因此無論是否存在違約，卡組織雖然降低了信貸準入門檻，但卻可以向商戶收取更高的商戶扣率。而顯然在存在違約情況下的商戶扣率要比不存在違約情況下的商戶扣率要更高，這樣卡組織通過向商戶收取更高的商戶扣率，實際上就將部分違約的風險轉嫁給了商戶。而商戶在面臨較高商戶扣率的情況下，又可能會實行額外收費規則來彌補消費者違約給自己帶來的損失，這在一定程度上又制約了消費者的違約行為。這就使得信用卡均衡時違約消費者的比例不會很大，只要采取適當措施就可將其控制在合理的范圍內。

四、結論

研究表明，只有當信用限額超過信貸準入門檻時，信用卡均衡才存在。卡組織在第一期提供信貸使得在第一期無購買能力的消費者也能實現自己的需求，這不僅增加了第一期的刷卡交易量，而且對于第二期的刷卡交易量也會產生積極的影響。同時，無論商戶是否受理信用卡，至少在第一期使用信用卡支付的方式是消費者占優策略，因為這能給消費者帶來更大程度的滿足。而在給定消費者刷卡支付時，商戶的最優選擇是受理卡，從而信用卡市場的納什均衡存在。

研究表明在信用卡市場發展的起步階段，即使消費者刷卡的比例不高，但是只要信用限額超過信貸準入門檻，商戶就有激勵受理信用卡，因為商戶預期通過受理卡能增加未來的銷售量。

卡組織提高商戶扣率的能力在某種程度上取決于加入信用卡刷卡消費網絡的用戶規模。當卡組織提高信貸限額，實行嚴格的信貸準入門檻時，會導致信用卡刷卡消費的用戶規模縮小，由于網絡外部性的存在，商戶此時受理信用卡的意愿下降，這使得卡組織只能降低商戶扣率來調動商戶受理卡的積極性。最后得出的一個重要結論是當利率較小，無論是否存在違約行為，卡組織通過降低信貸準入門檻都是有利可圖的。并且，在存在違約情況下卡組織降低信貸準入門檻所增加的收益要高于不存在違約情況下降低信貸準入門檻所增加的收益。

當然本文只是考慮了完全壟斷商戶在均衡時受理卡的情況，當存在商戶競爭的條件下，肯定會對最優信用限額以及信用卡均衡產生影響。

參考文獻:

[1]Baxter，W.F. Bank Interchange of Transactional Paper:Legal Perspectives [J]. Journal of Law and Economics，1983，26:541-588.

[2]Frankel，A. Monopoly and Competition in the Supply and Exchange of Money[J].Antitrust Law Journal， 1998，66:313-361.

[3]Carlton，D.W. and A.S. Frankel. The Antitrust Economics of Payment Card Networks[J]. Antitrust Law Journal，1995，63:643-668.

(特約編輯 齊稚平)