如何培養和提高學生的數學能力

近年來，在注重素質教育的我國教育背景下，如何進行教學才能培養和提高學生解決數學問題的能力成為數學教學界爭論的一個熱點。本文試圖結合自己的教學實踐經驗，從五大方面來論述和論證了“培養和提高學生解決數學問題的能力”的一些成功做法。

一、打好學生的數學基礎是首要條件

打好學生的數學基礎，是培養和提高學生解決數學問題的能力的前提條件。因為如果一個人沒有必要的數學基礎，那么他(她)就很難成功地解決數學問題。比如，有些人不懂得長方體的體積公式或求最大值的方法，就很難解決下面的[數學問題1]。

[數學問題1] 建造一個容積為 8 ，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120 元和80元，求水池的最低總造價及其相應的建造圖形。

解:設水池的長為a ， 寬為b ，依題意得 2ab = 8 ，

∴ ab = 4 。

∴ 總造價 y = 120ab + 2(a+b)·2·80

= 120ab + 320(a+b)

≥ 480 +320×2×2 =1760。

∵ 當且僅當 a=b=2時，上式“=”成立。

所以，當 a=b=2時，即池底是邊長為2m的正方形時，水池的總造價最低;最低總造價為1760元。

答:池底是邊長為2m的正方形時，水池的總造價最低;最低總造價為1760元。

又如，有些人不懂得函數的知識或求最大值的方法，就很難解決下面的[數學問題2]。

[數學問題2] (05年全國高考題)用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四個角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接而成(如圖1)。問該容器的高為多少時，容器的容積最大?最大容積是多少?

圖1

解:設容器的高為x cm， 容器的體積為V cm3，則

V = (90 – 2x)(48 –2x)x ， ( 0< x <24 )

∴ V=4x3-276x2 +4320x，V` =12x2-552x+4320 ，

令 V` = 0 ， 即12x2-552x+4320 = 0

解之，得x1=10，x2=36(舍去)

又∵ 當 0 < x < 10時， V` > 0，當10 < x < 24時，V` < 0

所以，當x =10時，V有極大值，極大值等于V(10)=19600(cm3)。

又∵ V(0)= 0，V(24)= 0

所以當x =10時，V有最大值，最大值等于19600 cm3。

答:容器的高為10cm時，容器的容積最大;最大的容積是19600 cm3。

綜上所述，打好數學基礎，是解決數學問題的必要條件，是培養和提高學生解決數學問題能力的必要前提條件。

二、培養和提高學生的數學運算能力

具有必要的數學運算能力，是解決相關數學問題的重要條件。比如，要解答下面的[數學問題3]，就必須具有“解不等式及求集合的交、并集運算”等運算能力。

[數學問題3] (05年，天津高考題)設函數f(x)In■，則函數g(x)=f(■)+f(■)的定義域是___。

解:由■>0 解得-1>x>1

∴ g(x)的定義域為x|-1<■<1，且-1<■<1=x|-2

又如，要解決下面的[數學問題4]，就必須熟練掌握有關的三角恒等變換運算。

[數學問題4] 求函數y=sin(x+■)+■sinx的最小正周期、最大值和最小值。

解:y=sin(x+■)+■sinx=■sinx+cosx=2sin(x+■)

所以，所求的最小正周期為2π，最大值為2，最小值為-2

由以上的論證可知，沒有一定的數學運算能力，是不能解決相關的數學問題的。因此，在數學教學過程中必須努力培養和提高學生的數學運算能力，切實使學生掌握解決數學問題所需的必要運算技能。

三、培養和提高學生的推理與論證能力

推理與論證能力是解決某些數學問題重要而必要的能力。因此，在教學過程中必須努力培養和提高學生的推理與論證能力，切實使學生掌握這些數學能力，為學生能夠獨立解決這類數學問題提供重要而必要的條件。

例如，要解決下面的[數學問題5]和[數學問題6]，就必須具有用二面角的平面角的定義、異面直線所成的角的定義、直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的判定定理、直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理等進行推理與論證的能力。

[數學問題5] 如圖2，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA=4，AB=2，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一點。

(1)求證:平面SAC⊥平面EBD。

(2)求二面角A-BD-S的大小。

(3)求直線BA與SC所成的角的大小。

(4)求點A到平面SBD的距離。

圖2 圖3

(1) 證明:∵SA⊥底面ABCD，BD底面ABCD∴ BD⊥SA

又∵ ABCD是正方形， ∴ BD⊥CA，

又∵ SA∩CA=A， ∴ BD⊥平面SAC

又∵ BD平面EBD，∴平面SAC⊥平面EBD.

(2) 解:設AC∩BD=O，連結SO.

∵ ABCD是正方形，∴ AO⊥BD

又∵ SA⊥平面ABCD，∴AO是斜線SO在底面AC上的射影

由三垂線定理，得 SO⊥BD

∴ ∠SOA是二面角的平面角(即∠SOA等于所求的二面角)。

在Rt△SAO中， 容易求得AO=■，SO=3■

∴ sin∠AOS=■=■=■■?圯∠AOS=arcsin■■這就是所求二面角的大小.

(3)解:∵ABCD是正方形，∴ DC∥AB

∴ ∠DCS是異面直線BA與SC所成的角(即∠DCS等于所求的角)。

在△DCS中， 容易求得SC=2■，SD=2■，CD=2，由余弦定理得cos∠DCS=■=■=■?圯∠DCS=arccos■

這就是所求異面直線BA與SC所成的角的大小.

(4)解:由(2)知，SO⊥BD ，SO=3■

∴ S△SBD=■BD·SO=■×2■×3■=6

設點A到平面SBD的距離為h，由SA⊥底面ABCD，得

∴ ■S△SBD·h=■S△ABD·SA ∴6h=■×2×2×4?圯h=■答:點A到平面SBD的距離為■

[數學問題6] 如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=18cm， P、Q分別為棱AB、AD的中點，E、F分別為棱BC、CD的中點。(1)求證:平面A1PQ∥平面D1B1F 。 (2)求幾何體A1B1D1-ABEFD的體積。

(1)證明:連結PF、BD

∵ 在正方體ABCD-A1B1C1D1中

BB1∥DD1 ，且BB1=DD1，

∴BD∥B1D1

又 ∵ 在△ABD中，P、Q分別是AB、DA的中點

∴BD∥PQ

四、培養和提高學生的數學思想方法

中學里，解決數學問題的基本數學思想方法有:(1)定義法;(2)分類討論法;(3)解析法;(4)換元法;(5)配方法;(6)待定系數法;(7)向量法;(8)公式法;(9)定理法;(10)導數法;(11)數形結合;(12)篩選回代法;(13)函數與方程的思想方法;(14)函數與不等式;(15)參數法;(16)交集、并集與補集;(17)逆向思維法;(18)枚舉法;(19)建模法;(20)等積法;(21)割補法;(22)周期性法;(23)分析法;(24)綜合法;(25)反證法;(26)同一法;(27)重組法;(28)構造法;(29)多元未知數法;(30)等價轉換法(或化簡)，(31)數學歸納法，等等。例如，本文中的[數學問題1]就可用多元未知數法與不等式法;[數學問題2]就可用公式法、函數法與導數法;[數學問題3]就可用定義法、等價性化簡、交集法與并集法等;[數學問題4]就可用化簡法及定義法等;[數學問題5]就可用定義法、定理法、公式法、等積法、割補法、分析法與綜合法等。因此，在數學教學中，加強數學思想方法的教學，對培養和提高學生解決數學問題的能力是十分有幫助的，是十分重要和非常必要的。

五、要注意培養和提高學生的數學綜合運用能力

這里所講的綜合運用能力，是指學生能夠充分綜合地運用所學的數學基礎、運算能力、推理與論證能力、空間想象能力和數學思想方法等進行的一系列的數學思維活動，從而解決相關的數學問題的能力。例如，對于本文中的[數學問題1]或[數學問題2]就要求學生在理解長方體等幾何知識的基礎上，能綜合地運用設多元未知數與不等式法相結合或列函數式與求導相結合的方法來解決問題。又如，對于本文中的[數學問題5]就要求學生在理解有關的幾何知識的基礎上，能綜合地運用分析法與綜合法、定義法、定理法、公式法、等積法、割補法等方法來解決問題。所以，培養和提高學生的數學綜合運用能力，是學生能夠獨立解決有關的數學問題的必要條件。因此，數學教師必須高度重視，認真抓緊抓好。

綜上所述，以上五個方面，從各自的特點來看，每一方面都是解決與之相關的數學問題的必要條件。但只要將它們綜合來運用，就可以解決很多數學問題了。因此，在高中數學教學過程中，我們必須辛勤耕耘，長期不懈地抓好這五個方面的教學，從而培養和提高學生解決數學問題的能力。

參考文獻:

[1]斯塔科(美)著，劉曉陵 曾守錘譯.創造能力教與學[M].華東師范大學出版社，2003(5).

[2]胡東芳.教育新思維:東西方教育對話錄[M].廣西師范大學出版社，2003(9).

[3]鐘啟泉等.普通高中新課程方案導讀[M].華東師范大學出版社，2003(9).

[4]廣東省教育廳教研室.高中新課程數學教學設計與案例[M].廣東高等教育出版社，2009(3).

(作者單位:廣東省佛山市南海藝術高中)