微積分在經濟學中的運用

隨著經濟的發展及數學理論的完善，數學與經濟學的關系越來越密切，應用越來越廣泛。微積分作為數學知識的基礎，介紹微積分與經濟學的書也越來越多，然而大部分書或者著重介紹經濟學概念或者著重介紹數學理論，很少有主要介紹微積分在經濟學中的應用的書。本文將通過對一些簡單的微積分知識在經濟學中的應用，以使人們意識到理論與實際結合的重要性。

一、極限在經濟分析中的應用

設銀行存款現值P和將來值B，年利率為r，則t年后的本利和即將來值B=(1+r)t

若一年分次計算復利，則每期利率為■，一年后的本利和即將來值為B=P(1+■)n而t年后的本利和即將來值為B=P(1+■)tn當n→∞時，則t年后的本利和即將來值為B=■P(1+■)m=Pet從而現值P和將來值B之間的關系為B=Pet或p=Be-t若現值P為1，利息r為100%，則得B=e

二、導數在經濟分析中的應用

導數作為高等數學的重要組成部分，貫穿于數學作為研究工具與各學科交叉互用的整個過程，經濟學自然也不例外。導數的引入為經濟學分析帶來了重大的變革，對其的運用可以解決許多之前無法定量分析的問題。對經濟變量的邊際分析和彈性的研究是導數在經濟學中最為典型的應用方式。邊際分析包括邊際成本、邊際收益和邊際利潤。其中邊際成本是總成本函數c(q)關于產量q的導數，其經濟含義是:當產量為q時，再生產一個單位(即△q=1) 所增加的總成本△c(q)。下面舉例說明導數在邊際成本分析中起到的作用。

例1 生產某種產品q個單位時，總成本函數為c(q)=500+0.5q2

則當產量為q0時，該產品的邊際成本MC為 MC=c′(q0)=q0，當q=100時，MC=100;當q=80時，MC=80。

同理，在相應的收益函數、利潤函數已知的情況下，利用導數的知識我們還可以分析廠商的邊際收益和邊際利潤。邊際分析只是導數在經濟學分析中起到作用的一個部分，導數的另一個重要作用就是進行經濟學中的彈性分析。函數■(x)在點x處的相對改變量△y/y 與自變量的相對改變量△x/x之商的極限，稱為函數y=■(x)在點x處的彈性。經濟學中的彈性用于衡量在一個經濟模型中，一個變量對另一個變量變化的敏感程度，包括需求價格彈性、供給價格彈性、商品需求交叉彈性等等。其中，需求價格彈性是最常用的彈性概念，設某種商品的市場需求量為q，價格為p，需求函數q=q(p) 可導，則Ep=■q′(p)稱為該產品的需求價格彈性。因為在一般情況下，需求函數為價格的遞減函數，因此需求彈性Ep一般為負值，其經濟意義為:當某種商品的價格下降(或上升) 1%時，其需求量將增加(或減少)EP%。實際的需求彈性計算見下面的例子:

例2在一個完全競爭市場中，某商品的總需求函數為q(p) =60-20■ ，則該商品在P0的需求價格彈性為

Ep=■q′(P0)=-■當p0時，Ep=1。

三、積分在經濟中的應用

積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數求出總函數。設總量函數p(x)在區間I上可導，其邊際函數為p′x，[a，x]∈I，則總有函數p(x)=■p■(u)du+P(a)

當 x 從a 變到b 時，p(x)的改變量為△p=p(x)-p(a)=■p■(u)du將 x 改為產量Q，且a=0 時，將P(x)代之以總成本C(Q)、總收入R(Q)、總利潤L(Q)，

可得C(Q)=■C■(x)dx其中C0即為固定成本，■C■(x)dx為可變成本R(Q)=■R■(x)dx (因為R(0)=0) L(Q)=■L■(x)dx-C(0)

案例 1[總量函數]已知某公司獨家生產某產品，銷售Q 單位商品時，邊際收入函數為R■(Q)=■-c (元/單位)(a>0，b>0，c>0)。求:(1)公司的總收入函數;(2)該產品的需求函數。

解 (1)總收入函數為R(Q)=■R■(x)dx=■[■-c]dx=-■-cx|=a-■-cQ

(2)設產品的價格為P，則R=PQ=a-■-cQ ，得需求函數為P=■-■ -c=■- c

案例 2[收入流的現值]某企業想購買一臺設備，該設備成本為5000 元。T 年后該

設備的報廢價值為S(t)=5000-400t 元，使用該設備在t 年時可使企業增加收入850-40t(元)。

若年利率為5%，計算連續復利，企業應在什么時候報廢這臺設備?此時，總利潤的現值是

多少?

解 T 年后總收入的現值為■(850-40t)e-0.05tdt

T 年后總利潤的現值為L(T)=■(850-40t)e-0.05tdt+(5000-400T)e-0.05tdt-5000

L′(T)=(850-40t)e-0.05T-400e-0.05T-0.05(5000-400T)e-0.05Tdt=(200-20T)e-0.05T

令L′(T)=0，得T=10。當T<10 時，L′(T)>0，當T<10 時，L′(T)<0，則T=10 是惟一的極大值點。即T=10 時，總利潤的現值最大，故應在使用10 年后報廢這臺機器。此時企業所得的利潤的現值為L(10)=■(200-20T)e-0.05TdT=(400T+4000)e-0.05T=825.25(元)

參考文獻:

[1]聶洪珍，朱玉芳.高等數學(一)微積分[M].北京:中國對外經濟貿易出版社，2003.

[2]張麗玲.微積分在經濟學中的應用[J].百色學院學報.2007.

[3]張素芬，王琳.淺談數學在經濟學中的應用[J].商場現代化.2008.

[4][美] 平狄克(Pindyck. R.) ，魯賓費爾德(Rubinfeld ，D. L. ) . 微觀經濟學(第四版)[M] . 北京:中國人民大學出版社，2000.

(作者單位:長江大學信息與數學學院)