高維Copula-Monte Carlo模型在投資組合中的應用研究

摘 要:將Monte Carlo理論與Copula函數結合，建立了高維投資組合分析的Copula-Monte Carlo模型。針對我國股票市場的組合投資問題進行了實證分析，并以最優期望效用函數作為目標求出了最優投資組合。

關鍵詞:Copula函數;Monte Carlo模擬;效用函數

中圖分類號:F830 文獻標識碼:A 文章編號:1672-3198(2010)06-0184-02

經濟全球化和金融市場的多樣及復雜化加劇了金融市場的波動性和風險性。Markowitz于1952年首次提出的投資組合理論就成為世界各國經濟學家傾力關注的熱點。現階段的研究大都集中于兩種資產的相關結構，對于多資產組合的風險分析由于復雜性而致使研究相對匱乏，主要難點在于如何選擇一定的工具來刻畫多個金融資產間的相依結構。運用新的數學方法研究多個金融資產投資組合風險分析具有十分重要的現實意義。本文采用非參數核估計刻畫單個金融資產的分布和copula函數描述多個金融資產間的相依結構。運用Monte Carlo模擬方法計算金融變量資產的Var，并結合效用函數去確定投資組合的比例系數，從而獲得最優的資金分配方案。

1 Copula研究現狀

Copula理論研究源于Sklar，而Nelsen比較系統地介紹了Copula的定義、構建方法、Archimedean Copula及變量間的相依關系。Copula理論對分析變量間相關性具有特殊優勢，目前已被廣泛應用于金融領域，如金融市場上的風險管理、投資組合的選擇、資產定價等方面，已經成為解決金融問題的一個強有力工具。

但國內外關于二維Copula的研究已較成熟，多變量的相關結構分析主要利用了正態Copula和t-Copula，而這兩種函數大多描述的是變量間的線性相關結構，與實際金融數據的尖峰厚尾性相距甚遠，因此，本文選擇Archimedean Copula來刻畫多個資產的相關結構，結合Monte Carlo技術進行投資組合風險分析。

2 產生多維隨機序列的Monte Carlo算法

蒙特卡洛(Monte Carlo)法，即隨機模擬方法，運用隨機過程來模擬真實系統的發展規律。這里采用Monte Carlo模擬技術其目的是獲得具有Copula函數結構的多維隨機序列。由Copula的定義可知，Copula函數可看作是具有邊緣分布的多維隨機變量的聯合分布函數。不妨設Copula函數C(u1，u2，…，un;θ)是n維連續型隨機變量的分布函數，c(x1，…，xn)為對應的密度函數，則

C(u1，u2，u3，…，un)=∫u0-∞∫u0-1-∞…∫un-∞c(x1，x2，…，xn)dx1dx2，…，dxn，ui∈[0，1]，i=1，2，…，n。

設某隨機向量取值于n維實數空間[0，1]n內一點H，選取包含點H的任意小鄰域ΔRn，則隨機向量在該鄰域內的概率值不為零，即P(#8226;)=cH(u1，u2，…，un;θ)ΔRn>0，其中cH(u1，u2，…，un;θ)為選定的Copula密度函數。問題關鍵是選擇 維空間[0，1]n內的H點，使得cH(u1，u2，…，un;θ)>0。

模擬算法:(1)令G=n-1Cu1u2…un-1，或G=∫un0c(u1，u2，…，un-1，xn)dxn，它是關于u1，u2，…，un-1，un的函數;(2)在[0，1]區間內隨機產生n-1個數u1，u2.…，un-1，將它代入函數G中，則該函數則是關于un的一元函數。(3)由c(u1，u2，…，un-1，xn)的非負性可知，則G是關于un單調遞增的，在G(un)的值域[0，G(1)]內隨機取一點y，若能反解出un=G-1(y)， 則(u1，u2，u3，…，un)為滿足某選定Copula函數的一點。如此循環計算，可以產生一組由某個Copula函數決定的隨機序列{(u1j，u2j，u3j，…，unj)，j=1，2，…}。

3 基于Copula-Monte Carlo的多個資產組合風險模型

在多個資產的投資組合風險分析中，需要模擬單個資產的邊緣分布，描述各資產間的相依結構。針對金融數據的尖峰厚尾性，本文采用擬合度較高的非對稱Laplace核密度估計來擬合單個資產收益率的邊緣分布函數 。運用Archimean Copula函數描述資產間的相依結構。

3.1 Copula的選擇及參數估計

Archimean Copula在建模中具有很好的性質:即高維的非對稱性和厚尾性。在此初步選擇如下三種Archimean Copula函數:

Frank Cθ(u1，u2，…，un)=-1θln1+∏ni=1(e-θuki-1)(e-θ-1)n-1，θ>0 (1)

Clayton Cθ(u1，u2，…，un)=(∑ni=1u-θi-n+1)-1θθ>0(2)

Gunbel Cθ(u1，u2，…，un)=exp-∑ni=1(-lnui)θ1θθ≥1(3)

利用各資產的歷史數據需要選擇最佳的Copula函數和估計參數 。首先采用非對稱Laplace核密度估計擬合單資產的分布(邊緣)，從而獲得一組邊緣分布函數值:(u1i，u2i，u3i，…，uni)，i=1，2，…，T，建立似然函數:

lk(θ)=∏Ti=1ck(u1i，u2i，…，uni;θ)，k=1，2，3(4)

其中c(u1i，u2i，…，uni;θ)表示Copula的密度函數，T為選定的樣本個數， 分別對應Copula函數(1)，(2)，(3)。建立獲得最佳Copula函數C的準則:

C=maxklk(θ)

采用優化算法，數值計算maxklk(θ)。確定最佳的Copula函數，相應的就作為θ的估計量。當選定Copula函數后，通過第2節的Monte Carlo模擬算法生成隨機收益率序列，由此計算VaR的值。

3.2 基于效用原理的最優投資組合

效用函數建立在消費者在消費中所獲得的效用與所消費的商品組合之間的數量關系之上，可用來衡量消費者從消費既定的商品組合中所獲得滿足的程度。而在金融風險市場中，投資者根據自身對風險的偏好程度來決定分配到各資產的比例大小，本文通過綜合考慮投資者對收益與風險的偏好，建立了二次型的效用函數，進而找出多資產的最優投資組合。

假設投資者的初始資產為W0，投資n種資產收益率為(r1，r2，…，rn)，期末資產為W1=W0∑ni=1ci(1+ri)。則最優投資權重ci應該滿足maxci∈[0，1]E(U(W0(∑ni=1ci(1+ri))))，選取效用函數U(W)=W-12yW2，y>0，其中r為風險指數，取樣本均值為期望函數，則目標函數轉化為:

max1T∑Tt=1(W0(1+∑ni=1cirti)-rW202(1+

2∑ni=1cirti+∑ni=1∑ni=1cicjrtirtj)

ci∈[0，1]

∑ni=1ci=1 i=1，2，…，n(5)

其中rti為t日資產i的收益率，求解此二次規劃問題可得到最優投資比例ci，i=1，2，…，n。

3.3 算法描述

Step 1 隨機選取同時間段內n只股票，日收益率定義為:

rit=(Pit-Pi(t-1))/Pi(t-1)，t=1，2，…，T，i=1，2，…，n，pt為t日收盤價，;

Step 2 將歷史收益率(r1t，r2t，r3t，…，rnt)，t=1，2，…，T分別代入擬合的邊際分布函數 中，得到序列(u1t，u2t，u3t，…，unt)，t=1，2，…，T;

Step 3將第2步的計算結果分別代入式(1)，(2)，(3)中，數值計算:

maxklk(θ)=∏Ti=1ck(u1i，u2i，…，uni;θ)，k=1，2，3確定最優的Copula函數C。

Step 4產生n-1個偽隨機數vi~U(0，1)，i=1，2，…，n-1;

Step 5 利用第2節所述，在函數G值域[0，G(1)]內，任取一點y，若能解出vn=G-1(y)，則向量v=(v1，v2，…，vn)滿足相應Copula分布。否則返回Step 4;

Step 6 求解ri=F-1i(vi)，i=1，2，…，n，即可得到股票樣本在將來某時刻的收益率r1，r2，…，rn。

Step 7 多次重復步驟4、5、6，產生一序列(r1k，r2k，…，rnk)，k=1，2，…，5000，它是服從聯合分布為選定Copula函數的n維隨機序列。由此，根據期望效用原理及公式(5)便可得到最優投資權重及對應的VaR值。即最佳線性組合關系式:

zk=c1r1k+c2r2k+…+cnrnk

其中ci為 (待定的)組合權重系數，i=1，2，…，n，ci∈[0，1]，∑ni=1ci=1，

4 實證分析

本文選取了3只股票，上海醫藥(代碼600849)，中國石化(代碼600028)和東方電氣(代碼600875)作為研究對象，時間段為2007年1月4日至2007年12月28日，數據來自國泰君安網。為了準確刻畫這三只股票間的相關性，對于交易日t時刻，經過預處理后，得到246組收益率r1t，r2t，r3t，(t=1，2，…，246)。首先通過樣本數據估計各種分布函數的相關參數和確定三只股指的邊緣分布;然后通過樣本和極大似然法確定較好的copula函數和對應的參數θ，通過Monte Carlo模擬，預測出收益率數據，再根據期望效用原理得到最優投資組合系數c*i，i=1，2，3。以上計算使用spss和matlab軟件編程實現。

4.1 樣本分布及參數估計

樣本數據的描述統計見表1。

表1 描述性統計

最小值最大值均值標準差skewnesskurtosisJ-B值P值中國石化-0.36160.10070.00400.0436-2.5222.892124.050.103上海醫藥-0.28260.28610.00410.0464-0.2514.021535.120.172東方電氣-0.10010.31380.00650.04061.5115.761722.310.049從表1中可以看出收益率序列具有明顯的尖峰厚尾特性，且Jarque-Bera統計量檢驗和對應p值均表明拒絕正態分布的假設。對此，我們對數據進行非參數核密度擬合邊緣分布，記為 ，圖1是對中石化的數據使用正態分布和核密度估計模擬的收益率序列的p-p圖，可以直觀地看出，核密度估計的擬合效果要優于正態分布，核估計能比正態分布更好地捕捉金融時間序列的尖峰厚尾特性。

圖1 中國石化核分布估計(左)和正態分布p-p圖(右)

4.2 Copula參數估計及VaR分析

用分步法估計Copula函數，首先利用已有的歷史收益率對邊緣分布建模，得到新的擬觀測值序列(u1t，u2t，u3t)，t=1，2，…，246，進而代入式(4)中，計算相應的似然函數值，由表2可知Clayton Copula擬合這組數據效果最好，同時大量實證表明證券市場符合Clayton函數所具有的下尾相關性，因此我們采用Clayton Copula作為刻畫收益率間相關結構的Copula函數，其中參數=1.4125，即最優的Copula函數為:

C2(u1，u2，u3;θ)=(u-1.41251+u-1.41252+u-1.41253-2)-0.7079

表2 不同Copula極大似然函數值

FrankClaytonGumbel最大似然值0.81321.05470.9081θ0.41731.41251.5016選定Copula函數后，根據3.3節中算法描述的步驟4、5、6生成收益率列向量r1k，r2k，r3k，k=1，2，…，5000，它近似服從聯合分布為Clayton Copula的隨機樣本，由這5000個樣本，根據期望效用原理及公式(5)，找出不同r和W0條件下的最優權重系數ci，i=1，2，3從而確定最優投資組合及VaR0.05，計算結果如表3所示。

表3 最優投資組合權重及VaR值

W0r東方電氣(c1)上海醫藥(c2)VaR0.051.001.500.680.230.085243.502.00.770.160.082137.002.500.830.120.08361注: c3=1-c1-c2。

5 結論

(1)本文采用非參數核密度估計，較好地擬合了資產的邊緣分布，并給出了結合連接函數Copula和Monte Carlo來模擬多個資產聯合分布的方法，以此度量多個資產的風險，對金融市場中投資者提供了有效的參考工具。

(2)本文選擇了二次型效用函數，還可以選用其他效應函數來表示投資者對于風險的喜好程度。此外，利用Copula函數進行二維資產分布研究已經趨于成熟，但對高維的情形研究不夠成熟。依照本文中的方法，通過選擇合適的Copula，可以進行高維的資產組合分析。同時，Copula函數本身所具有的許多優良統計特性，使其在金融領域中有著廣泛的應用前景，也必然會成為金融計量和金融分析的強大工具。

參考文獻

[1]Rockfeller R T， Uryasev S. Optimiztion of Conditional Value-at-Risk[J].Journal of Risk，2000，2(3):21-24.

[2]S.A.Klugman， R.Parsa. Fitting bivariate loss distributions with copulas[J].Insurance:Mathematics and Economics，1999(24):139-148.

[3]Andrew J Patton. Modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence[J].International Economic Review，2006，47(2):527-556.

[4]B.L.S. Prakasa Rao.Nonparametric Functional Estimation[M].ACADEMIC PRESS，1983.

[5]Monica B， Loriana P.Value-at-Risk: a multivariate switching regime approach[J].Journal of Empirical Finance， 2000， 7(5):531-554.

[6]Nelsen.R.B. An Introduction to Copulas[M]. New York:Springer， 1999.

[7]張堯庭，陳慧玉.效用函數及優化[M].北京:科學出版社，2000.

[8]Gumbel E J. Bivariate exponential distributions[J]. Journal of the American Statistical Association， 1960: 698-707.

[9]Clayton D G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familiestendency in chionic disease incidence[J].Biometrika，1978(65):141-151.

[10]Frank M J.On the simultaneous associativity of F(x，y) and x+y-F(x，y) [J]. Aequationes Math，1979(19): 194-226.

[11]Yu.A.Shreider(ed.). Method of Statistical Testing(Monte Carlo method)[M].Orford:Pergamon Press，1964.

[12]史道濟，李瑤.基于Copula的股票市場VaR和投資組合分析[J].天津理工大學學報，2007，23(3):13-16.