愛麗斯奇境里的數(shù)學(xué)世界

數(shù)學(xué)增加了《愛麗斯漫游奇境》的陰暗色彩，并且讓它成為幾，個世紀(jì)的未解之謎。

人們沒有想到受人尊敬的牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授查爾斯·路德維希·道奇森會寫出《愛麗斯漫游奇境》這樣的童話書。這本署名為劉易斯·卡羅爾的作品充滿大膽離奇的想象，字里行間散發(fā)出幽默感、邏輯性和別出心裁的荒誕。自問世以來，《愛麗斯漫游奇境》得到上至英國女王，下至平民百姓的喜愛，后來更是蜚聲全世界，連中國的宣統(tǒng)皇帝也聽他老師莊士敦口述過這個故事。

數(shù)學(xué)教授的童話

《愛麗斯漫游奇境》講述，一個叫愛麗斯的小女孩和姐姐在河邊看書時睡著了，夢中她追逐一只穿著背心的兔子掉進(jìn)了兔子洞，從而來到一個奇妙的世界中。在這個世界里，她時而變大時而變小，以至于自己有一次竟掉進(jìn)了由眼淚匯成的池塘里；她還遇到了愛說教的公爵夫人、神秘莫測的柴郡貓、神話中的格里芬和假海龜、總是叫喊著要砍別人頭的紅心女王和一群撲克士兵，參加了一個瘋狂茶會、一場古怪的槌球賽和一場審判，直到最后與女王發(fā)生沖突時才醒來，發(fā)現(xiàn)自己依然躺在河邊，姐姐正溫柔地拂去落在她臉上的幾片樹葉——在夢里她把那幾片樹葉當(dāng)成了撲克牌。

這本書最初的構(gòu)想，據(jù)說來源于道奇森劃船時給友人的女兒們講的故事。其中的二女兒，十歲的愛麗斯——一般認(rèn)為這位活潑的金發(fā)女孩就是書中主角的原型——很喜愛這個故事，要他把故事寫下來給她看。1864年11月，道奇森寫了一份故事手稿交給她，當(dāng)時書名叫“愛麗斯地下奇遇”。《愛麗斯漫游奇境》第一版出版于1865年7月4日，距道奇森與友人的三個女兒一起在泰晤士河上泛舟，剛好過了三年。

《愛麗斯漫游奇境》到今天已經(jīng)有145歲了，這本奇異之書激發(fā)了無數(shù)作家、插畫家、話劇家和電影導(dǎo)演的靈感。以電影為例，從1903年的默片版本開始，這個小姑娘掉進(jìn)兔子洞的故事就不停地被照搬或改編成電影。到了好萊塢鬼才導(dǎo)演蒂姆·波頓這里，就已經(jīng)是有資料記載的第24個版本了。2010年3D版的《愛麗斯漫游奇境》變成了原著的續(xù)集，再說白些，就是19歲的愛麗斯又掉進(jìn)了兔子洞……

好事的學(xué)者們總是考證《愛麗斯漫游奇境》里面的人物，把作者真實生活中的人與之一一對號入座。除了愛麗斯是道奇森的同事，牛津大學(xué)校長的女兒之外，故事里的鸚鵡和小鷹是愛麗斯的姐姐羅瑞娜和妹妹伊迪斯，渡渡鳥(Dodo)是作者道奇森本人，因為他口吃，說起道奇森這個姓來會是“Do-Do-Dodgson”。但是故事里的毛毛蟲、瘋帽子和柴郡貓則完全基于想象。

雖然是童話，但是學(xué)者們相信，在奇境里面發(fā)生的故事肯定能在道奇森的生活里找到現(xiàn)實原型。道奇森是牛津基督教堂學(xué)院的數(shù)學(xué)教師，有人認(rèn)為，愛麗斯進(jìn)入到一個美麗花園里發(fā)生的故事可以解釋為，道奇森對自己的專業(yè)領(lǐng)域——數(shù)學(xué)世界所發(fā)生的變化的滑稽模仿。

在19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)迅速發(fā)展到它今天的樣子：成為一種描述事物之間關(guān)系的精確語言。但是在道奇森看來，激進(jìn)的新數(shù)學(xué)缺乏邏輯，一點都不嚴(yán)謹(jǐn)。在《愛麗斯漫游奇境》里他采用了古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德的歸謬法(先假定前提是真的，然后按照這一邏輯推出一個明顯為假或自相矛盾的命題)來嘲諷新數(shù)學(xué)。

嘲諷新數(shù)學(xué)

在故事的第五章，愛麗斯與毛毛蟲交談的情景，就滑稽模仿了由19世紀(jì)中期倫敦數(shù)學(xué)教授奧古斯塔斯·德·摩根首次提出的純碎符號代數(shù)學(xué)。摩根提出一種非常現(xiàn)代的代數(shù)學(xué)方法，他認(rèn)為只要遵從內(nèi)部邏輯任何步驟都能得出正確結(jié)論。而這一前提讓負(fù)數(shù)也可以開平方，即使是摩根自己也稱這是難以理解和荒唐可笑的。

有一次摩根在書的腳注中說，代數(shù)“algebra”這個詞，來自阿拉伯語“al jebr e al mokabala”，意思是“還原和減少”。他解釋說，代數(shù)學(xué)最后會還原為看起來荒唐但是符合邏輯的等式。

像這樣松散的數(shù)學(xué)推理自然激怒了像道奇森這樣一斯不茍的邏輯學(xué)家。在故事里，毛毛蟲坐在蘑菇上，吸著水煙(這寓意著新數(shù)學(xué)如蘑菇般快速蔓延，讓追隨者的頭腦轉(zhuǎn)不過來)，而愛麗斯則經(jīng)受著可怕的“還原和減少”，她想讓自己還原到原來的大小，但是她減少的太迅速了，縮小到下巴都可以碰到腳了。

愛麗斯從一個遵循數(shù)學(xué)邏輯的世界跌進(jìn)了一個她的身高在9米和3英寸之間變化的世界。

“在一天中有這么多不同的身高，太讓人困惑了。”她認(rèn)為這是她的問題所在。但是來自瘋狂的符號代數(shù)學(xué)世界的毛毛蟲這樣回答：不，不是的，他建議愛麗斯：“控制你的脾氣。”

在道奇森的時代，知識分子理解的“控制脾氣”意味著保持適度的均衡感，但是要想保持適度在代數(shù)世界并不容易，愛麗斯吃了一點蘑菇。她的脖子就變得比蛇還長，打擾到了正在筑巢的鴿子。最終，她找到方法把自己變得只有9英寸，從而進(jìn)入了一個小房子，在那里她發(fā)現(xiàn)了公爵夫人和她的嬰兒，廚師和一只柴郡貓。

第六章“豬與胡椒粉”則滑稽模仿了連續(xù)性原理。連續(xù)性原理是射影幾何學(xué)的一個怪誕概念，起源于19世紀(jì)中期的法國。連續(xù)性原理是現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的重要內(nèi)容，這一原理認(rèn)為只要能保持同樣的屬性的話，一種形狀能夠彎曲、延展到另外的形狀一圓形和橢圓或者拋物線(柴郡貓笑起來嘴的曲線)就具有連續(xù)性。把這一概念發(fā)展到極致：如果圓形有連續(xù)性，那一個嬰兒也是如此。所以當(dāng)愛麗斯把公爵夫人的孩子帶到房子外面之后，孩子就變成了豬。柴郡貓說，“我想就會這樣。”

柴郡貓代表著傳統(tǒng)的幾何學(xué)邏輯，在愛麗斯讓豬跑到叢林里之后，他告訴愛麗斯說。如果你找到怎么去某個地方的方法你就能到達(dá)那里。他把瘋帽子和三月兔的方向指給愛麗斯，“你愿意拜訪誰就拜訪誰，”他說，“他們都是瘋子。”

瘋帽子和三月兔可以看做威廉·羅恩·漢密爾頓數(shù)學(xué)的擁護(hù)者，這位曾被稱為“第二個牛頓”的天才是維多利亞時代代數(shù)學(xué)的偉大革新者。漢密爾頓認(rèn)為數(shù)的運算，比如加法和減法是在

“純粹時間”里完成的步驟。“純粹時間”是康德的一個概念，與其說是真正的時間不如說與順序相關(guān)。這一理念讓道奇森非常著迷，第七章的標(biāo)題是“瘋狂的茶話會”，我們可以把tea-party讀成t-party，在數(shù)學(xué)的符號體系里t代表時間。

在這一章里，道奇森讓瘋帽子、三月兔和睡鼠圍著茶桌轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，以此來映射漢密爾頓所發(fā)現(xiàn)的四元數(shù)——四元數(shù)有四個單位(一般復(fù)數(shù)有兩個單位)。在19世紀(jì)60年代，四元數(shù)被贊譽為計算方式的最重要的進(jìn)步。道奇森也認(rèn)為四元數(shù)是高等數(shù)學(xué)運算中的精妙工具，但是他認(rèn)為四元數(shù)會讓愛麗斯和很多學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生迷惑不解，頭腦發(fā)瘋。

在瘋狂的茶話會上，時間是缺席的第四個單位。瘋帽子告訴愛麗斯，去年三月他與時間發(fā)生了一場爭吵，現(xiàn)在時間“不會按我說的做任何事。”所以，瘋帽子、三月兔和睡鼠(第三個單位)只能在一個平面上圍著茶桌不停旋轉(zhuǎn)。愛麗斯離開茶話會的時候，瘋帽子和三月兔正要把睡鼠塞到茶壺里面去，這樣的話他們就可以作為獨立對數(shù)存在——復(fù)數(shù)，雖然還是瘋狂，但是至少可以自由離開茶話會了。

隨后愛麗斯見到紅心皇后，一個“盲目而漫無目的發(fā)怒”的人，她可能代表著無理數(shù)，紅心皇后總是想砍掉所有人的腦袋，這可能來自可怕的雙關(guān)語“axes”既有斧子的意思也有復(fù)數(shù)坐標(biāo)軸的意思。

我們怎樣才能確定《愛麗斯漫游奇境》是對新數(shù)學(xué)開玩笑呢?作者從來沒有對他故事中的象征意義做出過解釋。但是道奇森從不會為孩子寫逗樂的廢話，他最好的幽默都是對成年人而言的。除了《愛麗斯漫游奇境》這本書，道奇森還為他的同事們寫了兩本十分有趣的小冊子，這兩本冊子都是以數(shù)學(xué)論文的方式寫就，嘲諷奚落牛津的學(xué)院生活。

如果沒有數(shù)學(xué)的介入，《愛麗斯漫游奇境》就更像道奇森后來的一本書《西爾維和布魯諾》——乏味而感傷的童話故事，數(shù)學(xué)增加了《愛麗斯漫游奇境》的陰暗色彩，并且讓它成為幾個世紀(jì)以來吸引了各個年齡層的人的不解之謎。