芻議數學教學中的證明

在中學階段開展證明教學是一項提升文化綜合能力的手段，數學證明能訓練學生的演繹能力，公理化的思想方法，培養嚴謹的思維習慣，有條理性地表達自己的邏輯思維，是提升數學體系中的一種文化底蘊。但是，開展數學證明相對于一部分學生來說也存在較大的困難，他們不懂得要證明什么，怎樣證明，找不到前提與結論之間有何種關聯，不知道怎么表達自己的證明思路和書寫格式。特別對初學證明的學生感到不知所措，這就使證明教學成為了許多教師研究的課題。為了克服數學證明中的難點，有必要了解實施證明的基本要求。

一、數學證明的內涵

什么是證明，為什么要學習證明?所謂證明，一方面是通過觀察、實驗收集一定的材料來判斷命題的真實性;另一方面是利用已有的理論作出邏輯上的推理證明該命題的真假，就是思維方式上的邏輯推理證明，特點是以論證性理論為依據，而不是依賴自然界或生活環境中的某些具體事例，數學證明就屬于后者，為什么要學習證明?學會證明一是掌握驗證命題真假的判斷能力，二是培養學生的數學文化素養。在學習證明過程中，依據證明要點可分為以下五種證明方式。

1.以經驗為依據的證明。即以經歷過的事實作為判斷依據的證明。古人云:“螞蟻搬家要下雨”就是憑借勞動人民長期觀察總結得出經驗判斷天氣的變化。又如憑借學生已學過的數字排列規律“1，4，9，16，25，...”就可判斷第八項的數是64的結果，學生正是依據這類自己在學習過程中已掌握的經驗的證明方式。

2.以專家觀點為依據的證明即以專家的觀點和思想作為論證的依據，如寫文章時，常常以某某專家所說的話作為依據來論證某些觀點的正確性，如學生也通常會把老師所講的話為依據，如果某某同學的觀點和老師的觀點不一致，就會毫不猶豫地認為老師的觀點是對的，這種觀點包含樸素的“依據專家認可的證明”思想。

3.以少數幾個事例為依據的證明即用幾個顯然成立來驗證某個未證明的結論，如

結果有80%的學生回答:“成立的”，因為沒有找到反例，學生們就對這個結論予以肯定了。這些都是“舉不出反例的證明”思想的體現.

5.以公理、定理為依據的證明。即應用公理、定理、公式、運算律承認其結論。如平行公理、全等三角形判定定理等.只要學生認為自己是按照上述公理或定理符合的條件，就可利用某公理或定理證明等。這就是利用公理、定理為依據的證明思想。

上述證明思想都是在現實生活或學習中遇到的，學生也經常會利用其中某一種方式去證明一些結論。這些證明思想是學習數學證明的基礎。

二、數學證明教學應由實用性證明向理性證明過渡

在學習數學證明初期，過于強調以邏輯推理為依據的理性證明或過于強調以觀察、實驗為依據的實用性證明都是不可取的。前者會使學生感到證明過程是復雜抽象的，找不到理論依據，脫離學生已有的知識經驗，結果會降低學習的興趣和信心;后者會導致學生產生經驗主義的傾向。所謂經驗主義，是指學生對幾何中某個結論正確與否進行判斷時，不是依據利用學過的知識進行證明，而是依據直觀經驗。例如，按要求畫出符合一定條件的圖形時，經驗主義者不是根據學過的知識給出證明去判斷作圖是否符合要求，而是停留在直觀的水平上，利用圖形的直接經驗去判斷理性的證明。僅僅從經驗性的論據來確定作圖是否正確。顯然，經驗主義是以經驗為依據的實用性證明觀念的反映，如果不能從實用性證明轉到理性證明上來，經驗主義是不可避免的，這會直接影響對證明的理解和掌握。因此，教師應隨時把握實用性證明和理性證明的“轉化”的問題。盡快引導學生從實用性證明的觀念過渡到理性證明的觀念上來，使之真正掌握數學證明。

然而，教師是否充分利用己有的觀念進行教學，是否符合學生學習心理特征，數學證明教學當然也不例外。教師應考慮到學生己有證明觀念，使學生能順利地從實用性證明過渡到理性證明，逐步接受理性證明。從整體上說明這一由實用性證明向理性證明轉化的教學模式的基本思想。對于學生開始接觸數學證明的時候，教師可以設計一些問題，通過對實用性證明讓學生掌握簡單的演繹推理方法，培養推理意識，作為學生由實用性證明到理性證明的過渡。如教師可以要求學生把自己在生活中的一些論證過程寫成“因為.……所以……”的形式，如，“因為少壯不努力，所以老大徒傷悲”，“因為a>0，b<0;所以ab<0”等，讓學生明確論證的依據和所得到的結論。對理性證明的形式先有一個感性的認識，引起學生學習數學證明的內部動機和興趣。

對于數學證明初期的公理的學習，教師可以先舉出一些令學生信服的事實，由特殊到一般，概括出公理。對于公理的正確性，學生是能夠認可的，因為它是由事實概括出的，無需證明的，這屬于實用性證明的范疇，符合其經臉證明觀念，然后，教師可以給出一些用公理解決問題的簡單的范例，使學生意識到:公理和事實的作用是一樣的，公理就相當于教學中的事實。只要滿足了公理中的條件，那么結論就必然成立。接下來，教師可以給出一些簡單的命題讓學生加以判斷.這時，一部分學生可能能夠利用公理來證明其他的問題是否成立，其他的則可能還要借助事實，對于后者的做法，教師應給予充分的理解，通過解釋說明。引導他們與前者進行比校。允許他們有一個漸進的，反復的過程，逐步引導學生證明觀念的轉化。

以“線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等”這一課題的教學為例，教師先畫出一條線段AB，然后和學生一起用直尺和圓規以A、B為圓心，大于線段AB的1/2長為半徑畫弧交于C、D兩點，連接CD即為線段AB的垂直平分線，可以看到沿直線CD對折，得到A、B兩點重合的結論，即垂直平分線上的任一點到A、B的距離相等，引導學生實用性證明思想，就可以得到垂直平分線上的點到兩端的距離相等的判定。接下來在理性證明時，井非所有的學生都能夠自覺地利用判定定理，與教師思維方式相近的學生可能會這樣做，其他的學生可能還是會拿出直尺或圓規，通過對邊和點的測量，他們才敢下結論說這是正確的。對于只滿足于實用性證明的學生來說，教師可以通過個別輔導的形式，幫助他們完成由實用性證明向理性證明觀念的轉化。讓學生先了解用直尺或圓規知道線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的直接經驗，接著讓學生利用學過的定理去證明三角形垂心的問題，大家通常認可用公理進行證明的方法，不提倡使用觀察和測量的方法，因為，通過對少數具體例子的觀察、測量得到的結論，并不能夠保證其他場合也正確，不能保證在一般情況下能成立。還有，有時候畫圖形的性質并不能通過測量得出。例如，兩平行直線不相交這條性質就不能通過實際的測量來認定，而要通過推理的方法來研究。可以使我們掌握許多無法通過觀察、測量得到的性質，還可以揭示這些性質的本質。

新數學課程標準指出，要注意從學生已有證明觀念出發，使學生在了解其己有證明思想的局限性的基礎上，逐步地從實用性證明上升到理性的證明，接受并能自覺進行演繹推理論證，使學生養成“說理有據”的態度、尊重客觀事實的精神和質疑的習慣，理解證明的必要性和意義，體會證明的思想，掌握證明的基本方法，能夠“合乎邏輯地思考”。同時，在教學中還應注意防止過于“形式化”的證明，注重學生對理性證明的正確理解，追求證明過程的條理性與合情推理的統一，這就是所謂的數學文化功能的具體要求。

綜上所述，對于今后數學教育如何發展，數學證明教學的觀念如何變化，證明文化教育功能仍是十分重要的內容。現代數學教育中，合理的證明數學理念應該是:通過由實用性證明到理性證明的過渡教學，鍛煉學生的邏輯推理能力和合情推理能力，讓學生感受到數學語言的簡約、精煉，數學思維嚴謹、敏捷的內在美，體會證明教學在數學學科乃至整個科學中的地位和作用。

參考文獻

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(責任編輯劉永慶)