2010年高考廣東數(shù)學(xué)(理科)模擬試題

本試卷分選擇題和非選擇題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1. 設(shè)全集U=R，A={x∈N|1≤x≤5}，B={x∈R|x2-x-2=0}，則下圖中陰影表示的集合為()

A. {-1} B. {2}

C. {3，4，5} D. {3，4}

2. 下列四個(gè)命題:

①n∈Z，n2≥n;

②n∈R，n2

③n∈R，m∈R，m2

④n∈R，m∈R，m#8226;n=m，

其中真命題的序號為()

A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④

3. 定義: =ad-bc.若復(fù)數(shù)z滿足 =-1+2i，則z等于()

A. 1+iB. 1-i C. 3+iD. 3-i

4. 已知直線m、n，平面、，給出下列命題:

①若m⊥，n⊥，且m⊥n，則⊥;

②若m//，n//，且m//n，則//;

③若m⊥，n//，且m⊥n，則⊥;

④若m⊥，n//，且m//n，則//，

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 對任意非零實(shí)數(shù)a、b，若a b的運(yùn)算原理如圖所示，則sin xdx=______.

6. 某校高中研究性學(xué)習(xí)小組對本地區(qū)2006年至2008年快餐公司發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查，制成了該地區(qū)快餐公司個(gè)數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖(如圖)，根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯()

A. 82萬盒B. 83萬盒

C. 84萬盒 D. 85萬盒

7. 在△ABC中，已知向量與滿足(+)#8226;=0且#8226;=，則△ABC為()

A. 三邊均不相等的三角形B. 直角三角形

C. 等腰非等邊三角形D. 等邊三角形

8. 下圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0，1)到實(shí)數(shù)集R的映射過程:區(qū)間(0，1)中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1;將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合(從A到B是逆時(shí)針)，如圖2;再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，如圖3.圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n，0)，則m的象就是n，記作f(m)=n.

則下列說法中正確命題的是()

A. f ()=1B. f (x)是奇函數(shù)

C. f (x)在定義域上單調(diào)遞增

D. f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱

二、填空題:本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.

(一)必做題(9~13題)

9. 已知cos(-)cos(+)=(0<<)，則sin2的值為.

10. 若多項(xiàng)式x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10，則a9= .

11. 已知A(x1，y1)是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B(x2，y2)是橢圓+=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N(1，0)是一定點(diǎn)，若AB//x軸，且x1

12. 如圖，將平面直角坐標(biāo)系的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)則表上數(shù)字標(biāo)簽:原點(diǎn)處標(biāo)0，點(diǎn)(1，0)處標(biāo)1，點(diǎn)(1，-1)處標(biāo)2，點(diǎn)(0，-1)處標(biāo)3，點(diǎn)(-1，-1)處標(biāo)4，點(diǎn)(-1，0)標(biāo)5，點(diǎn)(-1，1)處標(biāo)6，點(diǎn)(0，1)處標(biāo)7，以此類推，則20092標(biāo)簽的格點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

13. 已知方程ax2+bx-1=0(a>0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，其中一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則a-b的范圍為 .

(二)選做題(14~15題，考生只能從中選做兩題)

14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)極坐標(biāo)系中，圓2+2cos-3=0上的動(dòng)點(diǎn)到直線cos+sin-7=0的距離的最大值是.

15.(幾何證明選講選做題)已知兩個(gè)同心圓，大圓的直徑AB交小圓于C，D，大圓的弦EF切小圓于C，ED交小圓于G，若小圓的半徑為2，EF=4則EG的值為 .

三、解答題:本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且1+=.

(Ⅰ)求角A;

(Ⅱ)若=(0，-1)，=cosB，2cos2，試求+的最小值.

17.(本小題滿分12分)

投擲A，B，C三個(gè)紀(jì)念幣，正面向上的概率如下表所示(0

將這三個(gè)紀(jì)念幣同時(shí)投擲一次，設(shè)表示出現(xiàn)正面向上的個(gè)數(shù).

(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)在概率p(=i)(i=0，1，2，3)中，若p(=1)的值最大，求a的取值范圍.

18.(本小題滿分14分)

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=，

(1)求證:C1B⊥平面ABC;

(2)試在棱CC1(不包含端點(diǎn)C，C1)上確定一點(diǎn)E的位置，使得EA⊥EB1;

(3)在(2)的條件下，求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.

19.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)f(x)=log3(ax+b)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)和B(5，2)，記an=3 f (n)，n∈N*.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn=，Tn=b1+b2…+bn，求Tn;

(3)求使不等式(1+)(1+)…(1+)≥p對一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)p.

20.(本小題滿分14分)

已知f(x)=ax-ln(-x)，g(x)=-，其中x∈[-e，0)是自然常數(shù)，a∈R.

(1)討論a=-1時(shí)， f(x)的單調(diào)性、極值;

(2)求證:在(1)的條件下，f(x)>g(x)+;

(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使 f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值;如果不存在，說明理由.

21.(本小題滿分14分)

已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的離心率為，直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)F2，直線l1過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;

(3)設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R，S在C2上，且滿足#8226;=0，求的取值范圍.

答案與提示

一、選擇題

1. A. 由于A={x∈N│1≤x≤5}={1，2，3，4，5}，B={x∈R│x2-x-2=0}={-1，2}，陰影部分為(CUA)∩B={-1}.

2. C. 命題①是真命題;命題②是假命題;命題③是假命題;命題④是真命題.

3. A. 由定義可知z 1-ii=iz-(-i)=-1+2iz=-=1+i

4. B. 命題①是正確的;命題②不正確，很容易找到反例;命題③也不正確，可以構(gòu)造出α∥β的情形;命題④也不正確，可以構(gòu)造出α⊥β的情形.

5. 由于sinxdx=(-cosx)|π0=2，那么sinxdx=2，結(jié)合框圖可知2==.

6. D. 由=85，即得結(jié)論.

7. D. 由于、表示、方向上的單位向量，因此，+表示∠BAC平分線方向上的單位向量，由于(+)#8226;=0，即∠BAC平分線與BC垂直，于是△ABC為等腰三角形.又#8226;=可得∠BAC=60°，從而得到△ABC為等邊三角形.

8. C. 由函數(shù)的定義可知，函數(shù)的定義域是(0，1)，因此，可排除選項(xiàng)B、D;再看選項(xiàng)A，f()其實(shí)，就是當(dāng)m=時(shí)，對應(yīng)的N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易得為-1，即f()=-1，于是選項(xiàng)A也被排除，故正確答案為C.其實(shí)，f(x)在定義域上單調(diào)遞增，也容易看出.

二、填空題

9. .由cos(-θ)cos(+θ)=cos(-θ)sin(-θ)=sin(-2θ)=cos2θ=，得cos2θ=，那么cos2θ=(1+)，sin2θ=(1-)，sin22θ=4sin2θcos2θ=.

10. -10.左邊x10的系數(shù)為1，易知a10=1，左邊x9的系數(shù)為0，右邊x9的系數(shù)為a9+a10#8226;C110=a9+10=0，所以a9=-10.

11.(，4).由y2=4x，+=1x=，y=±，由于AB∥x軸，且x1

又N(1，0)是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，得AN=x1+1，ABx2-x1.

而BN===2-x2，

那么周長l=3+x2，于是

12.(1005，1004). 由圖可以看出:20092-1個(gè)數(shù)可以構(gòu)成由2009×2009個(gè)點(diǎn)組成的正方形，其中標(biāo)簽20092對應(yīng)的點(diǎn)正好是“2009×2009正方形”外層的第一個(gè)數(shù)，設(shè)坐標(biāo)為(x，y)，則2x-1=2009x=1005又y=x-1=1004，即標(biāo)簽20092的格點(diǎn)的坐標(biāo)為(1005，1004).

13. 設(shè)f(x)=ax2+bx-1=0，由于f(0)=-1<0，又a>0知開口向上，又一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，于是

f(1)<0，f(2)>0，a>0，a+b-1<0，4a+2b-1>0，a>0.

設(shè)z=a-b即b=a-z過點(diǎn)(0，1)時(shí)，得z的最小值-1，故a-b的范圍為(-1，+∞).

14. 將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，圓(x+1)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)到直線x+y-7=0的距離的最大值就是圓心(-1，0)到直線x+y-7=0的距離d再加上半徑r=2.故填4+2.

15. 如圖，連結(jié)GC，因?yàn)镃D是小圓的直徑，

所以∠DGC=90°，則GC⊥ED.

由于EF切小圓于C，得EF⊥CD，EC=EF=2.

又CD=4，那么在直角△ECD中有:

ED===2.

由∠ECG=∠GDC，得△GEC~△GCD，那么=.

即EC2=EG#8226;ED，得EG==

=，于是EG=.

三、解答題

16.(Ⅰ)1+=1+=，

即=，

∴=，∴cosA=.

∵0

(Ⅱ)+=(cosB，2cos2-1)=(cosB，cosC)，

∴+2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(-B)=1-sin(2B-).

∵A=，∴B+C=，∴B∈(0，).從而-<2B-<，

∴當(dāng)sin(2B-)=1，即B=時(shí)，+2取得最小值，所以+min=.

17.(1)P(ξ)是ξ個(gè)正面向上，3-ξ個(gè)背面向上的概率.其中ξ的可能取值為0，1，2，3.

P(ξ=0)=C01(1-)C02(1-a)2=(1-a)2，

P(ξ=1)=C11#8226;C02(1-a)2+C01(1-)C12a(1-a)=(1-a)2，

P(ξ=2)=C11#8226;C12a(1-a)+C01(1-)C22a2=(2a-a2)，

P(ξ=3)=C11#8226;C22a2=.

所以ξ的分布列為:

ξ的數(shù)學(xué)期望為:

Eξ=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.

(2)P(ξ=1)- P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，

P(ξ=1)- P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=，

P(ξ=1)- P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.

由a(1-a)≥0，≥0，≥0和0

18.(Ⅰ)因?yàn)锳B⊥側(cè)面BB1C1C，故AB⊥BC1.在△BC1C中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=.由余弦定理有:BC1===.

故有BC2+BC12=CC12，∴C1B⊥BC，而BC∩AB=B，且AB，BC平面ABC，∴C1B⊥平面ABC.

(Ⅱ)法一:由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE，從而B1E⊥平面ABE，且BE平面ABE，故BE⊥B1E.

不妨設(shè)CE=x，則C1E=2-x，則BE2=1+x2-x.又∵∠B1C1C=，則B1E2=1+x2+x.

在Rt△BEB1中，有x2+x+1+x2-x+1=4，從而x=±1(舍負(fù))，故E為CC1的中點(diǎn)時(shí)，EA⊥EB1.

法二:以B為原點(diǎn)，，為軸x，y，z軸，設(shè)CE=x，則B(0，0，0)，E(1-x)，B1(-1，，0)，A(0，0，).由EA⊥EB1，得#8226;=0，即:(x-1，-x，)，(x-2，-x，0)=0(x-1)(x-2)-x(-x)=0，化簡整理得x2-3x+2=0，x=1或x=2.

當(dāng)x=2時(shí)，E與C1重合不滿足題意;

當(dāng)x=1時(shí)，E為CC1的中點(diǎn)，

故E為CC1的中點(diǎn)使EA⊥EB1.

(Ⅲ)法一:取EB1的中點(diǎn)D，A1E的中點(diǎn)F，BB1的中點(diǎn)N，AB1的中點(diǎn)M，連DF則DF∥A1B1，連DN則DN∥BE，連MN則MN∥A1B1，連MF則MF∥BE，且MNDF為矩形，MD∥AE，又∵A1B1⊥EB1，BE⊥EB1，故∠MDF為所求二面角的平面角.

在Rt△DFM中，DF=A1B1=(∵△BCE為正三角形)，MF=BE=CE=，∴tan∠MDF==.

法二:由已知⊥，⊥，所以二面角A-EB1-A1的平面角的大小為向量與的夾角，因?yàn)?=(0，0，)，=(-，-，)，故cos==tan=.

19.(1)由題意得log3(2a+b)=1，log3(5a+b)=2，解得a=2，b=-1.

∴ f(x)=log3(2x-1)，an==2n-1，n∈N*.

(2)由(1)得bn=，∴Tn=+++…++……①

Tn=++…+++……②

①-②得Tn=++…++-，

∴Tn=3-+=3-.

(3)由題意得P≤(1+)(1+)…(1+)對n∈N*恒成立.

記F(n)=(1+)(1+)…(1+)，則=

==>=1.

∵F(n)>0，∴F(n+1)>F(n)，即F(n)是隨n的增大而增大.F(n)的最小值為F(1)=，所以P≤，即Pmax≤.

20.(1)∵ f(x)=-x-ln(-x)，f ′(x)=-1-=-，

∴當(dāng)-e≤x<-1時(shí)，f ′(x)<0，此時(shí)f (x)為單調(diào)遞減;當(dāng)-10，此時(shí)f (x)為單調(diào)遞增，∴ f (x)的極小值為f (-1)=1.

(2)∵ f (x)的極小值，即 f (x)在[-e，0)的最小值為1，∴f (x)min=1.令h (x)=g(x)+=-+，又∵h(yuǎn)′(x)=，當(dāng)-e≤x<0時(shí)，h′(x)≤0，h(x)在[-e，0)上單調(diào)遞減，∴h(x)max=h (-e)=+<+=1=f (x)min，∴當(dāng)x∈[-e，0)時(shí)，f (x)>g(x)+.

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f (x)=ax-ln(-x)有最小值3，x∈[-e，0)，f ′(x)=a-=.

①若≤-e，即a≥-時(shí)，由于x∈[-e，0)，則f ′(x)=a-≥0. ∴函數(shù)f (x)=ax-ln(-x)是[-e，0)上的增函數(shù)，∴f(x)min= f(-e)=-ae-1=3，解得a=-<-(舍去).

②若-e<<0時(shí)，當(dāng)a<-時(shí)，則-e≤x≤時(shí)，f ′(x)=a-<0，此時(shí)f (x)=ax-ln(-x)是減函數(shù).

當(dāng)0，此時(shí)f (x)=ax-ln(-x)是增函數(shù)，∴ f (x)max=f ()=1-ln(-)=3.

解得a=-e2，符合a<-.

③若≥0時(shí)，則f ′(x)=a-≥0，∴函數(shù)f (x)=ax-ln(-x)是[-e，0)上的增函數(shù). ∴f (x)min=f(-e)=-ae-1=3，解得a=-<-(舍去)，綜上述存在實(shí)數(shù)a=-e2.

21. (Ⅰ)∵e=，∴e2=2==，∴2a2=3b2.∵直線l : x-y-2=0與圓x2-y2=b2相切，∴=b，∴b=，b2=2，∴a2=3. ∴橢圓C1的方程是+=1.

(Ⅱ)∵M(jìn)P=MF2，∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線l1 : x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F1(1，0)的距離，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線. ∴點(diǎn)M的軌跡C2的方程為y2=4x.

(Ⅲ)Q(0，0)，設(shè)R(，y1)，S(，y2)，∴=(，y1)，=(，y2-y1). ∵#8226;=0，∴+y1(y2-y1)=0. ∵ y1≠y2，y1≠0化簡得 y2=(y1+). ∴y22=y12++32≥2+32=64，當(dāng)且僅當(dāng)y12=，y12=16，y1=±4時(shí)等號成立.

∵==，又∵y22≥64，∴當(dāng)y22=64，y2=±8時(shí)，min=8，故的取值范圍是[8，+∞).

(本試題由中山市第一中學(xué)數(shù)學(xué)備課組擬制)

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)