2010年高考廣東數學(理科)仿真試題

本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.

第Ⅰ卷(選擇題共40分)

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 設集合M={1，3，4}，集合N={x | x2-7x+12≤0}，那么下列結論正確的是( )

A. M∩N=MB. NM∩N

C. M∩NM D. M∩N=N

2. 已知a=2xdx，b=2log2，復數z=等于( )

A. 2-i B. 2+i C. 1+2iD. 1-2i

3. 以下兩個莖葉圖表示的是15個評委為競爭15億元的產業轉移扶持資金的甲、乙、丙、丁四個山區市所打出的分，按照規定，去掉一個最高分和去掉一個最低分，平均分排在前三位的市將各獲得5億元，只有()市將不能獲得這5億元.

A. 甲市B. 乙市C. 丙市 D. 丁市

4. 設雙曲線-=1(a>0，b>0)的兩條漸近線都與曲線y=x2+相切，則該雙曲線的離心率等于( )

A. 3B. 2C. D.

5. 為調查某地低收入人群的年收入情況，某社調隊現從300名城鎮下崗職工、t名農民工、500名農民中按分層抽樣的方法抽取容量為250的樣本，已抽取的城鎮下崗職工為75人，則t的值為()

A. 150B. 180 C. 200D. 240

6. 在區間[-1，1]上隨機取一個數x，sin的值介于-到之間的概率為().

A.B.C. D.

7. 等比數列{an}中，a1=C3k2k+3#8226;C1k-2，公比q是x+4的展開式中含x項的系數， 則第4項的值為()

A. 64B. 16 C.D.

8. 已知(a，b)為集合P中的元素，若對P中的其它元素(c，d)，均有c≥a，則稱a為集合P中的“最優值”.令P(x，y) | x=(y+3)#8226; | y-1 | +y+3，-≤y≤3，則集合P的“最優值”為()

A. 9B. C. 4D.

第Ⅱ卷(非選擇題共110分)

二、填空題:本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.

(一)必做題(9-13題)

9. 已知函數①f(x)=3lnx;②f(x)=3ecosx;③f(x)=3ex;④f(x)=3cosx，其中對于f(x)定義域內的任意一個自變量x1都存在唯一的自變量x2，使=3成立的函數是.

10. “三支一扶”是指大學生在畢業后到農村基層從事支農、支教、支醫和扶貧工作，某省“三支一扶”工作領導小組擬將4名大學生分配到3個經濟欠發達山區去掛職鍛煉，每個單位至少一名，則不同的分配方案有 種(用數字作答).

11. 如下圖1所示的是根據輸入的x值計算y值的程序框圖，若x依次取數列(n∈N*)的項，則所得y值的最小值為 .

12. 圖2是某幾何體的三視圖，則它的表面積為

，體積為 .

13. 已知向量=(4sinα，4cosα)，=(-cosβ，sinβ)，其中O為坐標原點. 若≥對任意實數α，β都成立，則實數m的取值范圍為.

(二)選做題(考生在14-15小題中選做一題，兩題全做的只計算前一題的得分)

14.(幾何證明選講選做題)如圖3，P是等邊三角形ABC外接圓上任一點，AP交BC于D，AP=4，AD=2，則AC= .

15.(坐標系與參數方程選做題)在極坐標系中，過點A(1，0)且垂直于極軸的直線交直線ρsin(+θ)=于點M，則點M的極坐標為.

三、解答題:本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足sin2A+sin2A=cos2A，cosB=，b=2，

(I)求sinC的值;(II)求△ABC的面積.

17.(本小題滿分12分)為積極配合深圳2011年第26屆世界大運會志愿者招募工作，某大學法學院擬成立由4名同學組成的志愿者招募宣傳隊，經過初步選定，4名男同學，5名女同學共9名同學成為候選人，每位侯選人當選宣傳隊隊員的機會是相同的.

(I)記為男同學當選的人數，求的數學期望;

(II)設至少有n名女同學當選的概率為Pn，滿足Pn≥時n的最大值?

18.(本小題滿分14分)如圖4，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2，PD=4. E是PD的中點.

(I)求證:直線AE⊥平面PCD;

(II)求平面ACE與平面ABCD的二面角的余弦值;

(III)在線段BC上是否存在點F，使得三棱錐F-ACE的體積恰為，若存在，試求出點F，若不存在，請說明理由?

19.(本小題滿分14分)已知函數f(x)=ax2-(a+1)x+1(x∈R)，g(x)=ex其中a∈R，集合A=x‖x-t|<，

(I)當a=-2時，記集合B={x | f(x)>0}，若AB，求實數t的取值范圍;

(II)若F(x)=[f(x)+a-1]#8226; g(x)，當a≠0時，求函數F(x)的單調區間與極值.

20.(本小題滿分14分)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F與P(2，-1)關于直線l:x-y-2=0的對稱，中心在坐標原點的橢圓經過兩點M1，，N-，，拋物線與橢圓交于兩點A(xA，yA)和B(xB，yB)，且xA

(I)求拋物線與橢圓的方程;

(II)若直線l′與拋物線相切于點A，試求直線l′與坐標軸所圍成的三角形的面積;

(III)若直線l′與圓x2-2mx+y2+2y+m2-=0恒有公共點，試求m的取值范圍.

21. (本小題滿分14分)在數列{an}中，a1=2，an+1=2an+2n+1(n∈N*).

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;

(Ⅱ)求數列{an}的前n項和Sn;

(III)設數列{bn}滿足bn=，求證:+++…+<(n∈N*).

2010年高考廣東數學(理科)仿真試題答案

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

答案提示:

1.因為N={x|x2-7x+12≤0}={x|3≤x≤4}，M∩N={3，4} 所以M∩NM，選C.

2. a=2xdx=x2|=3，b=2log2=1，z======2-i，故選A.

3. =

≈88.54;

=≈89.7;

=≈89;

=≈88.61，

經過比較，甲市的平均分最低，甲市將不能獲得這5億元，所以選A.

4.設一條漸近線的方程為y=kx，依題意聯立y=x2+，y=kx，得方程x2-kx+=0有兩個相等的實數根，得△=k2-3=0，解得k=±，所以=，e===2，選B.

5. 依題意可得城鎮下崗職工、農民工、農民按分層抽樣的比例是300∶t∶500，因為抽取城鎮下崗職工為75人，所以300×=75，得t=200，選C.

6. 在區間[-1，1]上隨機取一個數x，即x∈[-1，1]時，要使sin的值介于-到之間，需使-≤≤，∴-≤x≤1，區間長度為，由幾何概型知所求概率為=，故選C.

7. 因為a1=C3k2k+3#8226;C1k-2，所以2k+3≥3k，k-2≥1，即k≤3，k≥3，所以k=3.所以a1=C99C11=1，因為Tr+1 =Cr4x4-r()r=Cr4x4-3r，所以r=1，得q=4，所以a4=44-1=64，選A.

8. 由已知可得x = (y+3)#8226;| y-1|+ y+3=y2+3y，(1≤y≤3)-y2-y+6，(-≤y≤1)從而可求出x的最小值為，即集合P的“最優值”為，選D.

二、填空題:本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.

9. ③;10. 36;11. 3;12. 18+2;;13. [-1，3];14. 2;15. M(，).

答案提示:

9. 由于②與④是周期函數，不唯一，排除;①當x1=1時，ln1=0，不存在x2使得等式成立，填③.

10. 分兩步完成:第一步將4名大學生按2，1，1分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個基層事業單位，其分法有A33，所以滿足條件的分配方案有#8226;A33=36.

11. 由已知可得x==n+≥8，由程序框

圖可得分段函數y=x2，(x<8)log2x，(x≥8)因為y=log2x(x≥8)是單調遞增的，所以y值的最小值為3.

12. 如圖1，可得幾何體是一個邊長為2的正方體割去了一個角，故它的表面積為3×2×2+3××2×2+×(2)2=18+2，體積為8-=.

13. 依題意得(4sinα+cosβ)2+(4cosα-sinβ)2≥m2-2m+6對任意的α，β恒成立，即17+8sin(α-β)≥m2-2m+6對任意的α，β恒成立，所以m2-2m+6≤9，解得-1≤m≤3，故所求實數m的取值范圍是[-1，3].

14. 如圖2，連結PC、PB，在等邊三角形ABC中，有∠ABC=∠ACB=60°，又∠ABC=∠APC，所以∠ABC=∠APC，而∠PAC是公共角，所以△APC和△ACD相似，所以=，即AC2=AP#8226;AD=4×2，得AC=2.

15. 點A(1，0)且垂直于極軸的直線方程為x=1，直線ρsin(+θ)=化為普通方程得x+y=2，將x=1代入x+y=2易得y=1，所以M(1，1)，又ρ=，tanθ=1，所以θ=，所以點M的極坐標為M(，).

三、解答題:本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分12分)解:(I)由sin2A+sin2A=cos2A，可得sin2A+(-1)sinA#8226;coaA-cos2A=0………………………1分

得(sinA-cosA)(sinA+cosA)=0.

因為sinA+cosA≠0，所以sinA=cosA，得tanA=，故A=……………4分

因為A，B，C為△ABC的內角，且A=，cosB=，得C=-B，sinB=……………………6分

所以sinC=sin-B=cosB+sinB=×+×=……8分

(II)由(Ⅰ)知sinA=，sinC=又因為sinB=，b=2，所以在△ABC中，由正弦定理，得a==…………10分

所以△ABC的面積S=absinC=××2×=………………12分

17.(本小題滿分12分)

(I)解:可能的取值為0，1，2，3，4，P(=0)==， P(=1)==，P(=2)===，P(=3)===，P(=4)==………3分

的分布列:

的數學期望E=0×+1×+2×+3×+4×= ……………………………6分

(II)由(I)可知至少有4名女同學當選的概率為P4=P(=0)=<……………7分

至少有3名女同學當選的概率為P3=P(=0)+P(=1)=+<……………………9分

至少有2名女同學當選的概率為:P2=P(=0)+P(=1)+P(=2)=++=>…………11分

因此要使Pn≥，n的最大值為2…………12分

18.(本小題滿分14分)

解:(I)因為PA2+AD2=42+42=32，PD2=(4)2=32，所以三角形PAD是直角三角形，PA⊥AD.

同理PA2+AB2=42+22=20，PB2=(2)2=20，所以三角形PAB是直角三角形，PA⊥AB. 又AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD……………………2分

所以平面PAD⊥平面ABCD. 因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥AC，所以CD⊥平面PAD. 因為AE平面PAD，所以CD⊥AE…………………4分

因為E是PD的中點，三角形PAD是直角三角形，所以AE⊥PD. 又AD∩CD=D，所以PE⊥平面PAD……………………5分

(II)解法1:取AD的中點K，連結EK，過K作KT⊥AC，垂足為T，因為E是PD的中點，所以EK∥PA，EK=2，EK⊥平面ABCD，所以EK⊥AC. 又EK∩TK=K，所以AC⊥平面EKT. 故∠ETK即為所求的平面ACE與平面ABCD所成的二面角的平面角………………7分

因為三角形KTA與三角形ADC相似，所以=，又AC==2，所以TK===. 所以ET==……………………………9分

故cos∠ETK=/=………10分

解法2:如上圖，以A為頂點，AB、AD、AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，C(2，4，0)，E(0，2，2)，P(0，0，4)，=(2，4，0)，=(0，2，2)……………………8分

設=(x，y，z)是平面AEC的一個法向量，則有#8226;=0，#8226;=0，得x+2y=0，y+z=0，令y=-z=-1，得=(2，-1，1).由(1)可知=(0，0，4)是平面ABCD的一個法向量……………………9分

所以cos<，>==……10分

(III)如下圖，假設在線段BC上存在點F(2，y0，0)，使得三棱錐F-ACE的體積恰為.

由(2)知，ET=，AC=2，則S△ACE=AC#8226;ET=×2×=2…12分

設F(2，y0，0)到平面AEC的距離為h，=×2×h，解得h=. 又h==，得4-y0=2，所以y0=2或y0=6>4(應舍去)，所以在線段BC上存在點F(2，2，0)，使得三棱錐F-ACE的體積恰為………………14分

19.(本小題滿分14分)(I)解:當a=-2時， f (x)=-2x2+x+1，B={x|-2x2+x+1>0}={x|-

A={x||x-t|<}={x|t-

所以實數t的取值范圍是[0，]………………5分

(II)解:F(x)=[ax2-(a+1)x+a]ex

F ′(x)=[ax2+(a-1)x-1]ex=a(x-)(x+1)ex.

令F ′(x)=0，解得x=，或x=-1…………………7分

以下分四種情況討論.

(1)若a>0，則-1<.當x變化時，F ′(x)，F (x)的變化情況如下表:

所以F (x)在(-∞，-1)、(，+∞)內是增函數，在(-1，)內是減函數. 函數F (x)在x=-1處取得極大值F (-1)，且F (-1)=(3a+1)e-1………………9分

(2)若-1

所以F (x)在(-∞，)、(-1，+∞)內是減函數，在(，-1)內是增函數. 函數F (x)在x=-1處取得極大值F (-1)，且F (-1)=(3a+1)e-1. 函數F(x)在x=處取得極小值F ()，且F ()=(a-1)e……………………11分

(3)當a=-1時，F ′(x)<0，所以F (x)在R上是減函數，無極值………………12分

(4)若a<-1，則-1<，當x變化時，F ′(x)，F (x)的變化情況如下表:

所以F (x)在(-∞，-1)、(，+∞)內是減函數，在(-1，)內是增函數. 函數F (x)在x=-1處取得極小值F (-1)，且F (-1)=(3a+1)e-1. 函數F (x)在x=處取得極大值F ()，且F ()=(a-1)e……………………14分

20.(本小題滿分14分)

解:(I)設橢圓的方程為ax2+by2=1……………1分

因為橢圓經過兩點M(1，)，N(-，)，依題意可得a+b=1…(1)2a+b=1…(2)

由(1)與(2)消去a，可得b=……(3)

由(3)代入(1)得a=，所求橢圓的方程為+=1……………………3分

拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F(0，)，依題意得直線FP與直線l:x-y-2=0互相垂直，所以直線FP的斜率為-1，則kFP==-1，解得p=2，所以x2=4y……………………5分

(II)聯立x2=4y，+=1，得y2+y-2=0，解得y=1或y=-2(不合題意應舍去)……………………7分

當y=1時，得x=±2，因為xA

(III)化圓x2-2mx+y2+2y+m2-=0為標準方程得(x-m)2+(y+1)2=，其圓心坐標為(m，-1)，半徑r=……………………11分

要使直線l′與圓x2-2mx+y2+2y+m2-=0恒有公共點，則需滿足(m，-1)到直線x+y+1=0的距離d≤，即d=≤時，得-≤m≤， 故m的取值范圍為-，……………14分21.(Ⅰ)解法一:a2=2×2+22=2×22，a3=2×23+23=3×23，a4=2×(2×23+23)+24=4×24. 由此可猜想出數列{an}的通項公式為an=n#8226;2n……………………2分

以下用數學歸納法證明.

(1)當n=1時，a1=2，等式成立.

(2)假設當n=k時等式成立，即ak=k2k，那么ak+1=2ak+2k+1=k#8226;2k+1+2k+1=(k+1)2k+1，這就是說，當n=k+1時等式也成立.根據(1)和(2)可知，an=n#8226;2n對任何n∈N*都成立……………………5分

解法二:由an+1=2an+2n+1，可得=+1……2分

所以{}為等差數列，其公差為1，首項為1，故=1+n-1=n，所以數列{an}的通項公式為an=n#8226;2n……………………5分

(Ⅱ)解:Sn=21+2#8226;22+3#8226;23+…+(n-1)#8226;2n-1+n#8226;2n……①

2Sn=22+2#8226;23+3#8226;24+…+(n-1)#8226;2n+n#8226;2n+1…………………②

①式減去②式，得Sn=22+23…+2n-(n-1)2n+1=-(n-1)#8226;2n+1=2n+1-4-(n-1)2n+1，所以Sn=n#8226;2n+1-2n+2+4…………10分

(Ⅲ)因為bn===2n，所以b3n=8n3，得==<==-

(n≥2)，所以當n≥2時，+++…+<+(-)+(-)+…+-=+-<+×=………13分

當n=1時，不等式左邊=<顯然成立……14分

(本試題由五華縣五華中學高三數學備課組擬制)

責任編校徐國堅