參數(shù)搭橋,天塹變通途

參數(shù)對(duì)于主元，是一種賓主關(guān)系，它為主元服務(wù)，受主元重用.在高考數(shù)學(xué)試題的解題過程中，反客為主，由參數(shù)唱主角戲的場景也異常精彩.

例1 P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓x2+=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，已知與共線，與共線，且#8226;=0，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.

分析 四邊形“沒有”面積公式，因此難以用某邊長為參數(shù)，建立面積函數(shù)式.幸好，它有兩條互相垂直的對(duì)角線PQ和MN，使得四邊形面積可用它們的乘積來表示.然而，它們要與已知橢圓找到關(guān)系，還需要一個(gè)參數(shù)k，并找到PQ，MN對(duì)k的依賴式.這就要“無中生有”了.如右圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0，1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k.題設(shè)中沒有這個(gè)k，因此是“無中生有”式的參數(shù).我們之所以看中它，是認(rèn)定它不僅能表示PQ= f1(k)，還能表示MN= f2 (k). 又PQ過點(diǎn)F(0，1)，故PQ方程為y=kx+1，將此式代入橢圓方程得(2+k2)x2+2kx-1=0，設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1=，x2=，從而PQ2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=，亦即PQ=.無論在橢圓方程中，還是P，Q，M，N的坐標(biāo)中，x，y是當(dāng)之無愧的主元.而這是新的函數(shù)關(guān)系PQ=f1(k)=標(biāo)志著主賓易位，問題已經(jīng)發(fā)生了轉(zhuǎn)變.

(ⅰ)當(dāng)k≠0時(shí)，MN的斜率為-，同上可推得，MN=，故四邊形S=PQ#8226;MN==.令u=k2+，得S==2(1-).因?yàn)閡=k2+≥2，當(dāng)k=±1時(shí)，u=2，S=，且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)，所以≤S<2. 以上為本題解答的主干，以下k=0時(shí)情況，只是一個(gè)小小的補(bǔ)充，以顯完善之美.其實(shí)，以“不失一般性”為由，設(shè)“k≠0”為代表解答亦可.這時(shí)，可省去下邊的話.

(ⅱ)當(dāng)k=0時(shí)，MN為橢圓長軸，MN=2，PQ=，S=PQ#8226;MN=2.

綜合(ⅰ)(ⅱ)知，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為.

啟示 參數(shù)k將F(x，y)=0的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)，達(dá)到“賓主融融”的和諧境界.參數(shù)成為解題化歸中的一個(gè)重要角色，有時(shí)在“反客為主”中成為主角.

例2 已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且f(1)=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有>0.若f(x)≤m2-2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析f(x)≤m2-2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立等價(jià)于f(x)max≤m2-2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]成立，而求解抽象函數(shù)的最值往往需要:(1)先證該函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于(1)，抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號(hào).如任取x1，x2∈[-1，1]且x10，利用奇函數(shù)及x2-x1>0，得f(x2)-f(x1)>0，從而f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增;對(duì)于(2)，轉(zhuǎn)換視角變更主元，由m2-2am≥0構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)，即在g(a)=-2ma+m2在a∈[-1，1]上大于等于0，利用g(a)是一條直線這一圖像特征，數(shù)形結(jié)合得關(guān)于m的不等式組g(-1)≥0，g(1)≥0，從而求得m的范圍是m≥2或m≤-2.

啟示 設(shè)參、消參及參數(shù)的討論，歷來是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，特別當(dāng)參數(shù)較多時(shí)，往往感到不得要領(lǐng)或無從下手，對(duì)這類問題的基本對(duì)策是:當(dāng)參數(shù)多于兩個(gè)時(shí)，應(yīng)逐漸消去非主要的參數(shù)，最終得到兩個(gè)互相依存的參數(shù)，最后或通過均值不等式，或通過解一般不等式，或通過三角函數(shù)等數(shù)學(xué)手段去確定所求參數(shù)的范圍.什么樣的問題適合“反客為主”?適合“反客為主”的問題，一定是正面比較繁難，而交換主突位置(例如含參變量的方程或函數(shù))則相對(duì)容易破解問題.

考場練兵 對(duì)于a∈[-1，1]，求使不等式<2x+a+1恒成立的x的取值范圍.

答案 ∵y=x為R上的減函數(shù)，∴由原不等式得:x2+ax>2x+a+1.即a(x-1)+(x2-2x-1)>0，當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)恒成立.令f(a)=a(x-1)+(x2-2x-1).只須f(-1)>0，f(1)>0x2-3x>0，x2-x-2>0x<0或x>3，x<-1或x>2x∈(-∞，-1)∪(3，+∞)即為所求.

責(zé)任編校徐國堅(jiān)